第三章一元函数微分学

华赛教育 · 数学教研组｜共 6 节、312 个编号题：第一节 101 题；第二节 67 题；第三节 23 题；第四节 19 题；第五节 26 题；第六节 76 题（含详解）

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第一节导数概念和函数求导 · 经典练习（共 10 题）

经典练习 1
已知函数 $f(x)$ 满足 $\lim\limits_{\Delta x\to0}\dfrac{f(x_0+3\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=6$，则 $f'(x_0)=$（　　）
A. $1$B. $2$C. $3$D. $6$
答案：B
1. 将增量配成导数定义：$\dfrac{f(x_0+3\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=3\cdot\dfrac{f(x_0+3\Delta x)-f(x_0)}{3\Delta x}\to3f'(x_0)$。
2. 由 $3f'(x_0)=6$，得 $f'(x_0)=2$。
经典练习 2
设 $f(x)=\cos x$，则 $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=$（　　）
A. $-\sin x$B. $\cos x$C. $-\sin a$D. $\sin x$
答案：C
1. 该极限正是 $f'(a)$ 的导数定义。
2. $(\cos x)'=-\sin x$，故极限为 $-\sin a$。
经典练习 3
函数在点 $x_0$ 处连续是在该点处可导的（　　）
A. 必要非充分条件B. 充分非必要条件C. 充分必要条件D. 既非充分也非必要条件
答案：A
1. 可导必连续；连续不一定可导，例如 $y=|x|$ 在 $x=0$ 连续但不可导。
2. 所以连续是可导的必要非充分条件。
经典练习 4
函数 $f(x)=\sqrt[3]{x}+1$ 在 $x=0$ 处（　　）
A. 无定义B. 不连续C. 可导D. 连续但不可导
答案：D
1. $f(0)=1$，且 $x\to0$ 时 $f(x)\to1$，所以连续。
2. $\dfrac{f(x)-f(0)}x=x^{-2/3}\to+\infty$，导数不存在，因此连续但不可导。
经典练习 5
设 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，且 $f'(x_0)=3$，则 $\lim\limits_{\Delta x\to0}\dfrac{f(x_0-2\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=$　______
答案：$-6$
1. 构造增量：$\dfrac{f(x_0-2\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=-2\cdot\dfrac{f(x_0-2\Delta x)-f(x_0)}{-2\Delta x}$。
2. 由导数定义，极限为 $-2f'(x_0)=-6$。
经典练习 6
函数 $f(x)=\begin{cases}x(1-x)^{1/x},&x<0,\\0,&x\ge0,\end{cases}$ 在 $x=0$ 处的左导数 $f'_-(0)=$　______
答案：$e^{-1}$
1. 左导数 $f'_-(0)=\lim\limits_{x\to0^-}\dfrac{x(1-x)^{1/x}-0}{x}$。
2. 约去 $x$，得 $\lim\limits_{x\to0^-}(1-x)^{1/x}=[(1-x)^{-1/x}]^{-1}=e^{-1}$。
经典练习 7
曲线 $y=x\ln x$ 在点 $(1,0)$ 处的切线方程是　______。
答案：$y=x-1$
1. $y'=\ln x+1$，在 $x=1$ 处斜率 $k=y'(1)=1$。
2. 切线为 $y-0=1(x-1)$，即 $y=x-1$。
经典练习 8
设函数 $f(x)=\begin{cases}x^2\sin\dfrac2x+\sin2x,&x\ne0,\\0,&x=0,\end{cases}$ 用导数定义计算 $f'(0)$。
答案：$2$
1. $f'(0)=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{x^2\sin(2/x)+\sin2x}{x}=\lim\limits_{x\to0}\left[x\sin\dfrac2x+\dfrac{\sin2x}{x}\right]$。
2. 第一项由有界量乘无穷小为 $0$，第二项趋于 $2$，故 $f'(0)=2$。
经典练习 9
设函数 $y=\sin^2\dfrac1x-2^x$，求 $\dfrac{dy}{dx}$。
答案：$y'=-\dfrac1{x^2}\sin\dfrac2x-2^x\ln2$
1. 对 $\sin^2(1/x)$ 求导：$2\sin(1/x)\cos(1/x)\cdot(-1/x^2)=-\dfrac1{x^2}\sin\dfrac2x$。
2. 对 $-2^x$ 求导得 $-2^x\ln2$，合并即得结果。
经典练习 10
已知 $y=\arctan\sqrt{x^2-1}-\dfrac{\ln x}{\sqrt{x^2-1}}$，求 $y'$。
答案：$y'=\dfrac{x\ln x}{(x^2-1)^{3/2}}$
1. 令 $t=\sqrt{x^2-1}$。$\left(\arctan t\right)'=\dfrac{x}{t(1+t^2)}=\dfrac1{xt}$。
2. $\left(\dfrac{\ln x}{t}\right)'=\dfrac{t^2-x^2\ln x}{x t^3}$。
3. 相减并利用 $t^2=x^2-1$，得 $y'=\dfrac{x\ln x}{t^3}=\dfrac{x\ln x}{(x^2-1)^{3/2}}$。

第一节导数概念和函数求导 · 单项选择题（共 35 题）

选择题 1
设 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可导，则 $\lim\limits_{\Delta x\to0}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=$（　　）
A. $f'(x_0)$B. $f(x_0)$C. $-f'(x_0)$D. $-f(x_0)$
答案：A
1. 该式就是 $f'(x_0)$ 的定义式。
选择题 2
设 $f(x)$ 在 $x=a$ 处可导，则 $\lim\limits_{h\to0}\dfrac{f(a-5h)-f(a)}h=$（　　）
A. $f'(a)$B. $5f'(a)$C. $-5f'(a)$D. $-f'(a)$
答案：C
1. $\dfrac{f(a-5h)-f(a)}h=-5\cdot\dfrac{f(a-5h)-f(a)}{-5h}$。
2. 极限为 $-5f'(a)$。
选择题 3
设 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导，则 $\lim\limits_{h\to0}\dfrac{f(3h)-f(-h)}{3h}=$（　　）
A. $\dfrac32f'(0)$B. $\dfrac43f'(0)$C. $\dfrac23f'(0)$D. $f'(0)$
答案：B
1. 拆成 $\dfrac13\left[\dfrac{f(3h)-f(0)}h+\dfrac{f(0)-f(-h)}h\right]$。
2. 第一项趋于 $\dfrac13f'(0)$，第二项趋于 $\dfrac13f'(0)$，合计 $\dfrac43f'(0)$。
选择题 4
设 $f'(2)=1$，则 $\lim\limits_{x\to2}\dfrac{f(x)-f(2)}{x^2-4}=$（　　）
A. $-\dfrac14$B. $4$C. $\dfrac14$D. $1$
答案：C
1. $\dfrac{f(x)-f(2)}{x^2-4}=\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}\cdot\dfrac1{x+2}$。
2. 极限为 $f'(2)\cdot\dfrac14=\dfrac14$。
选择题 5
设 $f(x)$ 在 $x=0$ 可导且 $f(0)=0$，则 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{x^2f(x)-2f(x^3)}{x^3}=$（　　）
A. $-2f'(0)$B. $-f'(0)$C. $f'(0)$D. $2f'(0)$
答案：B
1. 原式 $=\dfrac{f(x)}x-2\dfrac{f(x^3)}{x^3}$。
2. 两项分别趋于 $f'(0)$，所以结果为 $-f'(0)$。
选择题 6
设 $f(x)=x(x-1)(x-2)\cdots(x-n)$，$n$ 为正整数，则 $f'(1)=$（　　）
A. $(-1)^{n-1}(n-1)!$B. $(-1)^n(n-1)!$C. $(-1)^{n-1}n!$D. $(-1)^nn!$
答案：A
1. 设 $g(x)=x(x-2)\cdots(x-n)$，则 $f(x)=(x-1)g(x)$。
2. $f'(1)=g(1)=1\cdot(-1)(-2)\cdots(1-n)=(-1)^{n-1}(n-1)!$。
选择题 7
设 $f(x)$ 在 $x=a$ 的某邻域有定义，则 $f(x)$ 在 $x=a$ 可导的一个充分条件是（　　）
A. $\lim\limits_{h\to0}h[f(a+1/h)-f(a)]$ 存在B. $\lim\limits_{h\to0}\dfrac{f(a+2h)-f(a+h)}h$ 存在C. $\lim\limits_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}$ 存在D. $\lim\limits_{h\to0}\dfrac{f(a)-f(a-h)}h$ 存在
答案：D
1. 令 $u=-h$，则 D 中极限 $=\lim\limits_{u\to0}\dfrac{f(a+u)-f(a)}u$，正是导数定义。
2. A、B、C 的极限存在不能排除左右导数不相等或极限振荡，因此不充分。
选择题 8
设 $f(x)$ 在 $x=0$ 连续，且 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(x^2)}{x^2}=1$，则（　　）
A. $f(0)=0$ 且 $f'_-(0)$ 存在B. $f(0)=1$ 且 $f'_-(0)$ 存在C. $f(0)=0$ 且 $f'_+(0)$ 存在D. $f(0)=1$ 且 $f'_+(0)$ 存在
答案：C
1. 由连续性，$f(0)=\lim\limits_{x\to0}f(x^2)=0$。
2. 令 $u=x^2>0$，得 $\lim\limits_{u\to0^+}\dfrac{f(u)-f(0)}u=1$，即右导数存在，故选 C。
选择题 9
设 $f(x)$ 在 $x_0$ 邻域内可导，且 $f(x_0)$ 为极小值，则 $\lim\limits_{h\to0}\dfrac{f(x_0+2h)-f(x_0)}h=$（　　）
A. $-2$B. $0$C. $1$D. $2$
答案：B
1. 因可导且 $x_0$ 为极值点，Fermat 定理给出 $f'(x_0)=0$。
2. 原极限等于 $2f'(x_0)=0$。
选择题 10
设 $f(x)$ 在 $x_0$ 处不连续，则（　　）
A. $f'(x_0)$ 必存在B. $f'(x_0)$ 必不存在C. $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$ 必存在D. $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$ 必不存在
答案：B
1. 可导必连续，其逆否命题是“不连续必不可导”。
2. 不连续时极限可能存在（可去间断），所以 C、D 都不能确定为真。
选择题 11
设 $y=f(x)$ 在 $x=5$ 可导，且 $\lim\limits_{x\to5}f(x)=3$，则 $f(5)=$（　　）
A. $3$B. $1$C. $\dfrac13$D. $0$
答案：A
1. 可导必连续，所以 $\lim\limits_{x\to5}f(x)=f(5)$。
2. 因此 $f(5)=3$。
选择题 12
下列函数中，在 $x=0$ 处可导的是（　　）
A. $y=|x|$B. $y=\sqrt{x}$C. $y=x^3$D. $y=\ln x$
答案：C
1. $|x|$ 在 0 不可导；$\sqrt{x}$、$\ln x$ 在 0 处或邻域不满足可导条件。
2. $x^3$ 在 0 处可导，导数为 0。
选择题 13
函数 $f(x)=\begin{cases}x\sin\dfrac1x,&x\ne0,\\0,&x=0\end{cases}$ 在 $x=0$ 处（　　）
A. 连续且可导B. 连续但不可导C. 极限不存在D. 极限存在但不连续
答案：B
1. $|f(x)|\le|x|\to0$，故连续。
2. $\dfrac{f(x)-f(0)}x=\sin\dfrac1x$ 在 $x\to0$ 时无极限，故不可导。
选择题 14
函数 $f(x)=\begin{cases}\dfrac{1-\cos x}{\sqrt{x}},&x>0,\\x^2g(x),&x\le0,\end{cases}$ 其中 $g(x)$ 在 $(-\infty,0]$ 有界，则 $f$ 在 $0$ 处（　　）
A. 极限不存在B. 极限存在但不连续C. 连续但不可导D. 可导
答案：D
1. 右极限：$1-\cos x\sim x^2/2$，故 $f(x)\sim\sqrt{x}/2\to0$；左极限由有界函数乘 $x^2$ 也为 0。
2. 右导数 $\dfrac{f(x)}x\sim\dfrac{\sqrt{x}}2\to0$；左导数 $\dfrac{f(x)}x=xg(x)\to0$。两侧导数都为 0，故可导。
选择题 15
设 $f(x)=\begin{cases}e^x,&x>0,\\ax+b,&x<0\end{cases}$ 在 $0$ 处可导，则（　　）
A. $a=1,b=0$B. $a=b=1$C. $a=0,b=1$D. $a=1,b$ 任意
答案：B
1. 连续性要求 $b=1$。
2. 左导数 $a$，右导数 $(e^x)'|_{0}=1$，可导要求 $a=1$。
选择题 16
设 $f(x)=|\sin x|$，则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处（　　）
A. 可导B. 连续但不可导C. 不连续D. 无意义
答案：B
1. $|\sin x|\to0=f(0)$，连续。
2. 左导数为 $-1$，右导数为 $1$，不相等，故不可导。
选择题 17
设奇函数 $f(x)$ 在 $0$ 处可导，$F(x)=\begin{cases}\dfrac{f(x)(x+\sin x)}x,&x\ne0,\\0,&x=0,\end{cases}$ 则 $F$ 在 $0$ 处（　　）
A. 不连续B. 连续但不可导C. 可导且 $F'(0)=0$D. 可导且 $F'(0)=2f'(0)$
答案：D
1. 奇函数且可导，故 $f(0)=0$，且 $f(x)/x\to f'(0)$。
2. $F'(0)=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(x)(x+\sin x)}{x^2}=f'(0)\left(1+\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}\right)=2f'(0)$。
选择题 18
设 $f(x)$ 可导，且 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(1+2x)-f(1)}x=-2$，则曲线在 $(1,f(1))$ 处的切线斜率为（　　）
A. $4$B. $-4$C. $1$D. $-1$
答案：D
1. 原极限等于 $2f'(1)=-2$。
2. 切线斜率 $f'(1)=-1$。
选择题 19
曲线 $y=x-e^x$ 在点 $(0,-1)$ 处与直线 $l$ 相切，则 $l$ 的斜率为（　　）
A. $\infty$B. $1$C. $0$D. $-1$
答案：C
1. $y'=1-e^x$。
2. 在 $x=0$ 时 $k=1-e^0=0$。
选择题 20
曲线 $y=2x^{3/2}-4$ 在点 $(1,-2)$ 处的切线方程是（　　）
A. $3x-y-5=0$B. $3x-y-1=0$C. $x+3y-1=0$D. $x+3y-5=0$
答案：A
1. $y'=3\sqrt{x}$，故 $k=y'(1)=3$。
2. 切线为 $y+2=3(x-1)$，整理得 $3x-y-5=0$。
选择题 21
曲线 $y=\cos2x$ 在 $x=\dfrac\pi4$ 处的法线方程为（　　）
A. $x+2y+\dfrac\pi4=0$B. $x+2y-\dfrac\pi4=0$C. $x-2y+\dfrac\pi4=0$D. $x-2y-\dfrac\pi4=0$
答案：D
1. 点为 $(\pi/4,0)$；$y'=-2\sin2x$，切线斜率 $-2$。
2. 法线斜率 $1/2$，方程为 $y=\dfrac12(x-\pi/4)$，即 $x-2y-\pi/4=0$。
选择题 22
已知曲线 $y=\dfrac1x+2x$，则曲线在点 $(1,3)$ 处的切线与 $x$ 轴的交点坐标为（　　）
A. $\left(-\dfrac12,0\right)$B. $(1,3)$C. $(1,0)$D. $(0,0)$
答案：原题选项有误，正确交点为 $(-2,0)$
1. $y'=-1/x^2+2$，在 $x=1$ 处切线斜率 $k=1$。
2. 切线 $y-3=x-1$，即 $y=x+2$，与 $x$ 轴交于 $(-2,0)$。四个给定选项均不等于该点，应视为原书选项印刷错误。
选择题 23
曲线 $y=x\ln x-x$ 在 $x=e$ 处的切线方程是（　　）
A. $y=e-x$B. $y=x-e$C. $y=x+e$D. $y=-x-e$
答案：B
1. 点为 $(e,0)$；$y'=\ln x$，斜率 $k=1$。
2. 切线为 $y=x-e$。
选择题 24
曲线 $y=x^2+x-2$ 在点 $M$ 处的切线斜率为 $3$，则 $M$ 的坐标为（　　）
A. $(0,-2)$B. $(1,0)$C. $(0,0)$D. $(-1,-2)$
答案：B
1. $y'=2x+1=3$，得 $x=1$。
2. $y(1)=1+1-2=0$，故点为 $(1,0)$。
选择题 25
设 $f(x)=e^2+\sqrt{x}$，则 $f'(x)=$（　　）
A. $e^2+\dfrac1{2\sqrt{x}}$B. $\dfrac1{2\sqrt{x}}$C. $\dfrac2{\sqrt{x}}$D. $\dfrac1{\sqrt{x}}$
答案：B
1. $e^2$ 为常数，导数为 0。
2. $(\sqrt{x})'=\dfrac1{2\sqrt{x}}$。
选择题 26
设 $f(x)=e^{2x}$，则 $f'(x)=$（　　）
A. $-2e^{2x}$B. $2e^{2x}$C. $e^{2x}$D. $2xe^{2x}$
答案：B
1. 由复合函数求导，$f'(x)=e^{2x}\cdot2$。
选择题 27
设 $f(x)=x\sin x$，则 $f'\left(\dfrac\pi2\right)=$（　　）
A. $\dfrac12$B. $1$C. $\dfrac\pi2$D. $2\pi$
答案：B
1. $f'(x)=\sin x+x\cos x$。
2. 在 $x=\pi/2$ 处，$f'=1+0=1$。
选择题 28
$f(x)=(x-x_0)\varphi(x)$，其中 $\varphi(x)$ 可导，则 $f'(x_0)=$（　　）
A. $0$B. $\varphi(x_0)$C. $\varphi'(x_0)$D. $8$
答案：B
1. 由乘法法则，$f'(x)=\varphi(x)+(x-x_0)\varphi'(x)$。
2. 代入 $x=x_0$，得 $f'(x_0)=\varphi(x_0)$。
选择题 29
设 $f(x)=2\ln x+\arctan x$，则 $f'(1)=$（　　）
A. $0$B. $1$C. $\dfrac52$D. $\dfrac\pi4$
答案：C
1. $f'(x)=\dfrac2x+\dfrac1{1+x^2}$。
2. $f'(1)=2+\dfrac12=\dfrac52$。
选择题 30
若 $f(x-3)=x^2-9$，则 $f'(x)=$（　　）
A. $2x+6$B. $x(x+6)$C. $x(x-6)$D. $2x-6$
答案：A
1. 令 $t=x-3$，则 $x=t+3$，$f(t)=(t+3)^2-9=t^2+6t$。
2. $f'(t)=2t+6=2x+6$。
选择题 31
设 $f(\sin^2x)=\cos^2x$，则 $f'(x)=$（　　）
A. $-1$B. $1$C. $0$D. $2$
答案：A
1. 令 $t=\sin^2x$，则 $f(t)=1-t$。
2. $f'(t)=-1$，故 $f'(x)=-1$。
选择题 32
设 $y=f(e^x+2)$，其中 $f$ 可导，则 $y'=$（　　）
A. $(e^x+2)f'(e^x+2)$B. $e^xf'(e^x+2)$C. $e^xf(e^x+2)$D. $-e^xf'(e^x+2)$
答案：B
1. 由链式法则求导，外层导数乘内层导数。
2. $y'=f'(e^x+2)\cdot e^x$。
选择题 33
函数 $y=f(x)$ 可导，则 $y=f\{f[f(x)]\}$ 的导数为（　　）
A. $f'\{f(x)\}$B. $f'\{f'[f'(x)]\}$C. $f'\{f[f(x)]\}f'(x)$D. $f'\{f[f(x)]\}f'[f(x)]f'(x)$
答案：D
1. 逐层使用链式法则。
2. $y'=f'(f(f(x)))\cdot f'(f(x))\cdot f'(x)$。
选择题 34
设 $g(x)$ 可微，$h(x)=e^{1+g(x)}$，$h'(1)=1$，$g'(1)=2$，则 $g(1)=$（　　）
A. $\ln3-1$B. $-\ln3-1$C. $-\ln2-1$D. $\ln2-1$
答案：C
1. $h'(x)=e^{1+g(x)}g'(x)$，故 $1=h(1)\cdot2$，得 $h(1)=1/2$。
2. 由 $e^{1+g(1)}=1/2$，得 $1+g(1)=-\ln2$，即 $g(1)=-\ln2-1$。
选择题 35
设 $y=x^2+2x-1\ (x>0)$，则其反函数 $x=\varphi(y)$ 在 $y=2$ 处的导数是（　　）
A. $\dfrac14$B. $-\dfrac14$C. $\dfrac12$D. $-\dfrac12$
答案：A
1. $y=2$ 时 $x^2+2x-3=0$，因 $x>0$，取 $x=1$。
2. $f'(1)=2+2=4$，反函数导数 $\varphi'(2)=1/f'(1)=1/4$。

第一节导数概念和函数求导 · 填空题（共 34 题）

填空题 1
设 $f(x)=\log_2x$，则 $\lim\limits_{\Delta x\to0}\dfrac{f(x-\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=$　______
答案：$-\dfrac1{x\ln2}$
1. 该极限为 $-f'(x)$。
2. $f'(x)=1/(x\ln2)$，所以答案为 $-1/(x\ln2)$。
填空题 2
设 $f'(x_0)$ 存在，且 $\lim\limits_{\Delta x\to0}\dfrac{f(x_0+k\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\dfrac13f'(x_0)\ne0$，则 $k=$　______
答案：$k=\dfrac13$
1. 极限等于 $kf'(x_0)$。
2. 由 $kf'(x_0)=\dfrac13f'(x_0)$ 得 $k=1/3$。
填空题 3
若 $f'(x_0)=1$，$f(x_0)=0$，则 $\lim\limits_{h\to\infty}hf\left(x_0-\dfrac1h\right)=$　______
答案：$-1$
1. $f(x_0-1/h)-f(x_0)\approx f'(x_0)(-1/h)=-1/h$。
2. 乘以 $h$ 后极限为 $-1$。
填空题 4
已知函数 $f(x)=x|x|$，则 $f'(0)=$　______
答案：$0$
1. 左、右函数分别为 $-x^2$、$x^2$。
2. 两侧导数都趋于 0，故 $f'(0)=0$。
填空题 5
当 $h\to0$ 时，$f(x_0-3h)-f(x_0)+2h$ 是 $h$ 的高阶无穷小量，则 $f'(x_0)=$　______
答案：$\dfrac23$
1. 高阶无穷小给出 $\dfrac{f(x_0-3h)-f(x_0)}h+2\to0$。
2. 即 $-3f'(x_0)+2=0$，故 $f'(x_0)=2/3$。
填空题 6
若 $f'(x_0)=-1$，则 $\lim\limits_{h\to0}\dfrac h{f(x_0)-f(x_0-3h)}=$　______
答案：$-\dfrac13$
1. 分母中用导数定义：$f(x_0)-f(x_0-3h)\sim -3hf'(x_0)=3h$。
2. 所以极限为 $-1/3$。
填空题 7
设 $f(x)$ 在 $0$ 处可导且 $f(0)=0$，则 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(3x)}{\sqrt{1+2x}-1}=$　______
答案：$3f'(0)$
1. 分母等价于 $x$。
2. 分子 $f(3x)\sim3xf'(0)$，极限为 $3f'(0)$。
填空题 8
设 $f(x)=\begin{cases}\dfrac{x}{1+e^{1/x}},&x<0,\\0,&x=0,\\\dfrac{2x}{1+e^x},&x>0,\end{cases}$ 则 $f'(0)=$　______
答案：不存在
1. 左导数：$\lim\limits_{x\to0^-}\dfrac1{1+e^{1/x}}=0$。
2. 右导数：$\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac2{1+e^x}=1$。左右导数不等，故 $f'(0)$ 不存在。
填空题 9
设 $f(x)=\begin{cases}ax^2+b,&x\ge1,\\x\cos\dfrac{\pi x}{2},&x<1\end{cases}$ 在 $x=1$ 可导，则 $a=$　______，$b=$　______
答案：$a=-\dfrac\pi4,\ b=\dfrac\pi4$
1. 连续性：$a+b=0$。
2. 左导数 $\left[x\cos(\pi x/2)\right]'_{x=1}=-\pi/2$；右导数 $2a$。故 $2a=-\pi/2$，得 $a=-\pi/4$，$b=\pi/4$。
填空题 10
设 $f(x)=\begin{cases}a+xe^x,&x\ge0,\\bx,&x<0\end{cases}$ 在 $0$ 处可导，则 $a=$　______，$b=$　______
答案：$a=0,\ b=1$
1. 连续性给 $a=0$。
2. 左导数为 $b$；右导数为 $(xe^x)'|_{0}=1$，故 $b=1$。
填空题 11
设 $f$ 在 $0$ 处可导，$f(0)=0,f'(0)=b$，且 $F(x)=\begin{cases}\dfrac{f(x)+a\sin x}x,&x\ne0,\\A,&x=0\end{cases}$ 在 $0$ 处连续，则 $A=$　______
答案：$A=a+b$
1. 由连续性，$A=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(x)+a\sin x}x$。
2. 该极限为 $f'(0)+a=b+a$。
填空题 12
曲线 $y=x+\cos x$ 在点 $(0,1)$ 处的切线斜率 $k=$　______
答案：$1$
1. $y'=1-\sin x$。
2. $k=y'(0)=1$。
填空题 13
曲线 $y=2ax+\cos3x$ 在点 $(0,1)$ 处的切线斜率 $k=2$，则 $a=$　______
答案：$1$
1. $y'=2a-3\sin3x$。
2. 在 $x=0$ 处 $2a=2$，故 $a=1$。
填空题 14
已知曲线 $y=x^3-3a^2x+b$ 在点 $(1,0)$ 处与 $x$ 轴相切，则 $a^2+b=$　______
答案：$3$
1. 点在曲线上：$1-3a^2+b=0$；相切给 $y'(1)=3-3a^2=0$。
2. 得 $a^2=1,b=2$，所以 $a^2+b=3$。
填空题 15
已知 $y=\ln(\tan x)$，则 $y'=$　______
答案：$\dfrac1{\sin x\cos x}$
1. $y'=\dfrac{\sec^2x}{\tan x}$。
2. 化简为 $\dfrac1{\sin x\cos x}=\dfrac2{\sin2x}$。
填空题 16
设 $f(x)=\dfrac{x}{\sin x}$，则 $f'\left(-\dfrac\pi2\right)=$　______
答案：$-1$
1. $f'(x)=\dfrac{\sin x-x\cos x}{\sin^2x}$。
2. 在 $-\pi/2$ 处，$\sin=-1,\cos=0$，故 $f'=-1$。
填空题 17
设 $y=\dfrac1x-x^{1/2}+x^5+e^2$，则 $y'=$　______
答案：$-\dfrac1{x^2}-\dfrac1{2\sqrt{x}}+5x^4$
1. 逐项求导，$e^2$ 为常数。
填空题 18
设 $y=3(1+x^2)\arctan x$，则 $y'=$　______
答案：$y'=6x\arctan x+3$
1. $y'=6x\arctan x+3(1+x^2)\dfrac1{1+x^2}$。
2. 化简得 $6x\arctan x+3$。
填空题 19
设 $y=e^{\cos2x}$，则 $y'=$　______
答案：$-2\sin2x\,e^{\cos2x}$
1. 外层导数 $e^{\cos2x}$，再乘 $(\cos2x)'=-2\sin2x$。
填空题 20
设 $y=\operatorname{arccot}\sqrt{x}$，则 $y'=$　______
答案：$-\dfrac1{2\sqrt{x}(1+x)}$
1. $(\operatorname{arccot}u)'=-\dfrac{u'}{1+u^2}$。
2. 代入 $u=\sqrt{x}$，得 $-\dfrac1{2\sqrt{x}(1+x)}$。
填空题 21
设 $y=\ln|x|$，则 $y'=$　______
答案：$\dfrac1x\ (x\ne0)$
1. 分段求导，$x>0$ 与 $x<0$ 的结果都为 $1/x$。
填空题 22
设 $y=f(\arctan x)$，其中 $f$ 可导，则 $y'=$　______
答案：$\dfrac{f'(\arctan x)}{1+x^2}$
1. 链式法则，外层 $f'$，内层导数为 $1/(1+x^2)$。
填空题 23
已知 $y=\arcsin(1-2x)$，则 $y'=$　______
答案：$-\dfrac1{\sqrt{x(1-x)}}$
1. $y'=\dfrac{-2}{\sqrt{1-(1-2x)^2}}$。
2. 因 $1-(1-2x)^2=4x(1-x)$，化简得结果。
填空题 24
已知 $y=e^{x/2}\cos3x$，则 $y'=$　______
答案：$e^{x/2}\left(\dfrac12\cos3x-3\sin3x\right)$
1. 使用乘积求导。
2. $y'=\dfrac12e^{x/2}\cos3x-3e^{x/2}\sin3x$。
填空题 25
已知 $y=\dfrac{1-\ln x}{1+\ln x}$，则 $y'=$　______
答案：$-\dfrac2{x(1+\ln x)^2}$
1. 商法则分子为 $-(1/x)(1+\ln x)-(1-\ln x)(1/x)=-2/x$。
2. 分母为 $(1+\ln x)^2$，故得结果。
填空题 26
已知 $y=\ln(x+\sqrt{1+x^2})$，则 $y'=$　______
答案：$\dfrac1{\sqrt{1+x^2}}$
1. 内层导数 $1+x/\sqrt{1+x^2}$。
2. 除以 $x+\sqrt{1+x^2}$ 后化简为 $1/\sqrt{1+x^2}$。
填空题 27
设 $f'(x)$ 存在，则 $\dfrac{d}{dx}[f(\sin^2x)]=$　______
答案：$\sin2x\,f'(\sin^2x)$
1. 链式法则得 $2\sin x\cos x f'(\sin^2x)$。
2. 即 $\sin2x f'(\sin^2x)$。
填空题 28
设 $f(x)=x^2e^{1/x^2}$，$h(0)=3,h'(t)=\sin^2\left(t+\dfrac\pi4\right)$，则 $\dfrac{d}{dt}f[h(t)]|_{t=0}=$　______
答案：$\dfrac83e^{1/9}$
1. $h'(0)=\sin^2(\pi/4)=1/2$；$f'(x)=e^{1/x^2}\left(2x-\dfrac2x\right)$。
2. 复合导数 $=f'(3)h'(0)=\dfrac12\cdot\dfrac{16}{3}e^{1/9}=\dfrac83e^{1/9}$。
填空题 29
已知 $y=\ln(\cos e^x)$，则 $y'=$　______
答案：$-e^x\tan e^x$
1. $y'=\dfrac{-\sin e^x}{\cos e^x}\cdot e^x$。
2. 即 $-e^x\tan e^x$。
填空题 30
已知 $f(x)=\dfrac1{1+x}$ 满足 $f(x_0)=2$，则 $f'(x_0)=$　______
答案：$-4$
1. $1/(1+x_0)=2$，得 $x_0=-1/2$。
2. $f'(x)=-1/(1+x)^2$，故 $f'(-1/2)=-4$。
填空题 31
已知 $\dfrac{d}{dx}\left[f\left(\dfrac1{x^2}\right)\right]=\dfrac1x$，则 $f'\left(\dfrac12\right)=$　______
答案：$-1$
1. 左边为 $f'(1/x^2)\cdot(-2/x^3)=1/x$。
2. 得 $f'(1/x^2)=-x^2/2$。令 $1/x^2=1/2$，则 $x^2=2$，答案为 $-1$。
填空题 32
设 $y=e^{f(2\sin x)}$，且 $f$ 具有一阶连续导数，则 $y'=$　______
答案：$2\cos x\,f'(2\sin x)e^{f(2\sin x)}$
1. 指数链式求导后再乘 $2\cos x$。
填空题 33
设 $f$ 可导，$f'(x)=\sin(x+1),f(0)=4$，$y=g(x)$ 是 $y=f(x)$ 的反函数，则 $g'(4)=$　______
答案：$\dfrac1{\sin1}$
1. $f(0)=4$，故 $g(4)=0$。
2. 反函数导数 $g'(4)=1/f'(0)=1/\sin1$。
填空题 34
若 $f(t)=\lim\limits_{x\to\infty}\left(1+\dfrac1x\right)^{2tx}$，则 $f'(t)=$　______
答案：$2e^{2t}$
1. 极限为 $e^{2t}$。
2. 求导得 $f'(t)=2e^{2t}$。

第一节导数概念和函数求导 · 计算题（共 22 题）

计算题 1
讨论 $f(x)=\begin{cases}\ln(1-x^2),&-1<x\le0,\\x^2\arctan x,&x>0\end{cases}$ 在 $x=0$ 处的可导性。（原扫描件第二段误印为 $x<0$，按函数定义应为 $x>0$。）
答案：可导，$f'(0)=0$
1. 左导数 $\lim\limits_{x\to0^-}\dfrac{\ln(1-x^2)}x\sim-x\to0$。
2. 右导数 $\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{x^2\arctan x}{x}=0$。左右导数相等，故 $f'(0)=0$。
计算题 2
设 $f(x)=\begin{cases}\sin x,&x\le\dfrac\pi4,\\ax+b,&x>\dfrac\pi4.\end{cases}$ 确定 $a,b$，使 $f$ 在 $x=\pi/4$ 处可导。
答案：$a=\dfrac{\sqrt2}{2},\ b=\dfrac{\sqrt2}{2}\left(1-\dfrac\pi4\right)$
1. 连续性：$a\frac\pi4+b=\sin\frac\pi4=\frac{\sqrt2}{2}$。
2. 可导性：左导数 $\cos\frac\pi4=\frac{\sqrt2}{2}$，右导数为 $a$，故 $a=\frac{\sqrt2}{2}$。
3. 代回得 $b=\frac{\sqrt2}{2}(1-\frac\pi4)$。
计算题 3
讨论函数 $f(x)=\max\{x,x^4\}$ 的不可导点个数。
答案：$2$ 个
1. 在 $x<0$ 取 $x^4$，$0<x<1$ 取 $x$，$x>1$ 取 $x^4$，这些区间内均可导。
2. 在 $x=0$ 处左、右导数分别为 $0,1$；在 $x=1$ 处左、右导数分别为 $1,4$，均不可导。
计算题 4
已知当 $h\to0$ 时，$f(x_0+2h)-f(x_0)-h$ 是 $h$ 的等价无穷小量，求 $f'(x_0)$。
答案：$f'(x_0)=1$
1. 等价无穷小给出 $\dfrac{f(x_0+2h)-f(x_0)-h}{h}\to1$。
2. 即 $2f'(x_0)-1=1$，故 $f'(x_0)=1$。
计算题 5
设 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(x)-f(x/2)}{x/2}=a$，且 $f'(0)$ 存在，求 $f'(0)$。
答案：$f'(0)=a$
1. 分子写成 $\left[f(x)-f(0)\right]-\left[f(x/2)-f(0)\right]$。
2. 它约等于 $f'(0)x-\dfrac12f'(0)x=\dfrac12f'(0)x$。
3. 再除以 $x/2$，极限为 $f'(0)$，所以 $f'(0)=a$。
计算题 6
设 $f$ 在 $x_0$ 可导，求 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(x_0+x^2)-f(x_0)}{1-\cos x}$。
答案：$2f'(x_0)$
1. $1-\cos x\sim x^2/2$。
2. 原极限 $=2\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(x_0+x^2)-f(x_0)}{x^2}=2f'(x_0)$。
计算题 7
求曲线 $y=\dfrac1x+2x$ 在点 $(1,3)$ 处的切线方程和法线方程。
答案：切线 $y=x+2$，法线 $y=-x+4$
1. $y'=-1/x^2+2$，在 $x=1$ 处斜率 $k=1$。
2. 切线 $y-3=x-1$；法线斜率为 $-1$，故 $y-3=-(x-1)$。
计算题 8
求曲线 $y=e^{-x}$ 上一点，使该点处的法线与直线 $x+y=2$ 垂直，并求相应法线方程。
答案：点 $(0,1)$，法线 $y=x+1$
1. $y'=-e^{-x}$，法线斜率 $=-1/y'=e^x$。
2. 直线 $x+y=2$ 的斜率为 $-1$，与法线垂直要求法线斜率为 $1$，故 $e^x=1$，$x=0,y=1$。
3. 法线方程 $y-1=x$。
计算题 9
已知曲线 $y=ax^4+bx^3+x^2+3$ 在点 $(1,6)$ 处与直线 $y=11x-5$ 相切，求 $a,b$。
答案：$a=3,\ b=-1$
1. 点在曲线上：$a+b+4=6$，即 $a+b=2$。
2. 切线斜率：$4a+3b+2=11$，即 $4a+3b=9$。
3. 解得 $a=3,b=-1$。
计算题 10
设 $f(1/x)=x^2+1/x+1$，求 $f'(-1)$。
答案：$3$
1. 令 $t=1/x$，则 $f(t)=1/t^2+t+1$。
2. $f'(t)=-2/t^3+1$，故 $f'(-1)=2+1=3$。
计算题 11
设 $f(x)=3^x,g(x)=x^3$，求 $f'[g'(x)]$。
答案：$3^{3x^2}\ln3$
1. $g'(x)=3x^2$。
2. $f'(u)=3^u\ln3$，所以 $f'[g'(x)]=3^{3x^2}\ln3$。
计算题 12
设 $f(x)=\dfrac{x}{1-\sin x}+\dfrac12x^2$，求 $f'(\pi)$。
答案：$1$
1. $f'(x)=\dfrac{1-\sin x+x\cos x}{(1-\sin x)^2}+x$。
2. 在 $x=\pi$ 处，$f'(\pi)=1-\pi+\pi=1$。
计算题 13
已知 $y=\ln(\ln x)$，求 $y'$。
答案：$y'=\dfrac1{x\ln x}$
1. 外层导数 $1/\ln x$，内层导数 $1/x$。
计算题 14
已知 $y=\sin^2\left(3x+\dfrac\pi4\right)+5^x$，求 $y'$。
答案：$y'=3\cos6x+5^x\ln5$
1. $[\sin^2(3x+\pi/4)]'=3\sin(6x+\pi/2)=3\cos6x$。
2. 再加 $(5^x)'=5^x\ln5$。
计算题 15
已知 $y=x^2\left(\ln^2x-\ln x+\dfrac12\right)$，求 $y'$。
答案：$y'=2x\ln^2x$
1. 乘积求导后得 $2x(\ln^2x-\ln x+1/2)+x(2\ln x-1)$。
2. 展开化简，中间项相消，得到 $2x\ln^2x$。
计算题 16
已知 $y=\arcsin\sqrt{x}$，求 $y'$。
答案：$y'=\dfrac1{2\sqrt{x(1-x)}}$
1. $y'=\dfrac1{\sqrt{1-x}}\cdot\dfrac1{2\sqrt{x}}$。
计算题 17
已知 $y=e^{\sin x^3}$，求 $y'$。
答案：$y'=3x^2\cos x^3\,e^{\sin x^3}$
1. 逐层求导：$e^{\sin x^3}\cdot\cos x^3\cdot3x^2$。
计算题 18
已知 $y=\sqrt{x^2-a^2}-a\arccos\dfrac ax$，求 $y'$。
答案：$y'=\dfrac{\sqrt{x^2-a^2}}x$
1. $(\sqrt{x^2-a^2})'=x/\sqrt{x^2-a^2}$。
2. $\left[-a\arccos(a/x)\right]'=-a^2/[x\sqrt{x^2-a^2}]$。
3. 合并得 $(x^2-a^2)/(x\sqrt{x^2-a^2})=\sqrt{x^2-a^2}/x$。
计算题 19
已知 $y=\sqrt{1+f(\ln x)}$，其中 $f$ 具有一阶连续导数，求 $y'$。
答案：$y'=\dfrac{f'(\ln x)}{2x\sqrt{1+f(\ln x)}}$
1. 外层根式求导，再乘 $f'(\ln x)$ 和 $1/x$。
计算题 20
已知 $f(u)$ 可微，求 $y=f\left(\cos^2\dfrac1x\right)$ 的导数。
答案：$y'=\dfrac1{x^2}\sin\dfrac2x\,f'\left(\cos^2\dfrac1x\right)$
1. 内层导数 $2\cos(1/x)(-\sin(1/x))(-1/x^2)=\sin(2/x)/x^2$。
2. 再乘外层导数。
计算题 21
设 $f$ 在 $x=1$ 处导数连续且 $f'(1)=2$，求 $\lim\limits_{x\to1^+}\dfrac{d}{dx}f(\cos\sqrt{x-1})$。
答案：$-1$
1. 导数为 $f'(\cos\sqrt{x-1})\left[-\sin\sqrt{x-1}\right]\dfrac1{2\sqrt{x-1}}$。
2. 当 $x\to1^+$，$\sin\sqrt{x-1}/\sqrt{x-1}\to1$，内层趋于1。
3. 极限为 $f'(1)\cdot(-1)\cdot1/2=-1$。
计算题 22
设 $x=\varphi(y)$ 是严格单调连续函数 $y=f(x)$ 的反函数，且 $f(1)=9,f'(1)=-\sqrt5$，求 $\varphi'(9)$。
答案：$-\dfrac1{\sqrt5}$
1. 反函数导数公式 $\varphi'(9)=1/f'(1)$。
2. 代入 $f'(1)=-\sqrt5$。

第二节高阶导数和特殊函数的导数 · 经典练习（共 11 题）

经典练习 1
设函数 $f(x)=\ln\dfrac{2-x}{2+x}$，则 $f'(1)=$　______。
答案：$-\dfrac43$
1. 将函数拆成对数差：$f(x)=\ln(2-x)-\ln(2+x)$。
2. $f'(x)=-\dfrac1{2-x}-\dfrac1{2+x}=-\dfrac4{4-x^2}$。
3. $f'(1)=-\dfrac43$。
经典练习 2
设函数 $y=f(x)$ 由参数方程 $\begin{cases}x=\tan t,\\y=t^3+2t\end{cases}$ 所确定，则 $\left.\dfrac{dy}{dx}\right|_{t=0}=$　______。
答案：$2$
1. $\dfrac{dx}{dt}=\sec^2t$，$\dfrac{dy}{dt}=3t^2+2$。
2. $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3t^2+2}{\sec^2t}$，代入 $t=0$，得 $2$。
经典练习 3
参数方程 $\begin{cases}x=2t^3+3,\\y=t^2-4\end{cases}$ 在 $t=1$ 相应点处的切线斜率为　______。
答案：$\dfrac13$
1. $\dfrac{dx}{dt}=6t^2,\ \dfrac{dy}{dt}=2t$。
2. 斜率 $k=\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2t}{6t^2}=\dfrac1{3t}$，故 $k(1)=\dfrac13$。
经典练习 4
由参数方程 $\begin{cases}x=2\sin t+1,\\y=e^{-t}\end{cases}$ 所确定的曲线在 $t=0$ 相应点处的切线方程是　______。
答案：$x+2y-3=0$
1. $t=0$ 时对应点为 $(1,1)$。
2. $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{-e^{-t}}{2\cos t}$，故在 $t=0$ 处斜率 $k=-\dfrac12$。
3. 切线为 $y-1=-\dfrac12(x-1)$，即 $x+2y-3=0$。
经典练习 5
设 $y=x\arcsin x-\sqrt{1-x^2}$，求 $\left.y''\right|_{x=0}$。
答案：$3$
1. $y'=\arcsin x+\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}+\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+\dfrac{2x}{\sqrt{1-x^2}}$。
2. $y''=\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}+\dfrac{2}{(1-x^2)^{3/2}}$。
3. 代入 $x=0$，得 $y''(0)=1+2=3$。
经典练习 6
函数 $f(x)$ 的导数 $f'(x)=x\ln(1+x^2)$，求 $f''(1)$。
答案：$1+\ln2$
1. 对 $f'(x)$ 求导：$f''(x)=\ln(1+x^2)+x\cdot\dfrac{2x}{1+x^2}$。
2. 即 $f''(x)=\ln(1+x^2)+\dfrac{2x^2}{1+x^2}$。
3. $f''(1)=\ln2+1$。
经典练习 7
已知函数 $f(x)$ 的 $n-1$ 阶导数 $f^{(n-1)}(x)=\ln(\sqrt{1+e^{-2x}}-e^{-x})$，求 $f^{(n)}(0)$。
答案：$\dfrac{1}{\sqrt2}$
1. 先利用恒等变形：$\sqrt{1+e^{-2x}}-e^{-x}=\dfrac1{\sqrt{1+e^{-2x}}+e^{-x}}$。
2. 记 $u(x)=\sqrt{1+e^{-2x}}-e^{-x}$，则 $f^{(n-1)}(x)=\ln u(x)$，且 $f^{(n)}(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}$。
3. 计算得 $u'(x)=-\dfrac{e^{-2x}}{\sqrt{1+e^{-2x}}}+e^{-x}$，所以 $\dfrac{u'(x)}{u(x)}=\dfrac{1}{\sqrt{1+e^{2x}}}$。
4. 代入 $x=0$，得 $f^{(n)}(0)=\dfrac1{\sqrt2}$。
经典练习 8
已知 $y=2^x+x^x\ (x>0)$，求 $\dfrac{dy}{dx}$。
答案：$y'=2^x\ln2+x^x(1+\ln x)$
1. $(2^x)'=2^x\ln2$。
2. 对 $u=x^x$，取对数得 $\ln u=x\ln x$，故 $u'=x^x(1+\ln x)$。
3. 合并即得结果。
经典练习 9
设函数 $y=f(x)$ 由参数方程 $\begin{cases}x=\ln(\sqrt{3+t^2}+t),\\y=\sqrt{3+t^2}\end{cases}$ 所确定，求 $\dfrac{dy}{dx}$（结果化为最简）。
答案：$t$
1. 因为 $x=\operatorname{arsinh}\dfrac{t}{\sqrt3}$，所以 $\dfrac{dx}{dt}=\dfrac1{\sqrt{3+t^2}}$。
2. $\dfrac{dy}{dt}=\dfrac{t}{\sqrt{3+t^2}}$。
3. 因而 $\dfrac{dy}{dx}=t$。
经典练习 10
求由方程 $(1+y^2)\arctan y=xe^x$ 所确定的隐函数的导数 $\dfrac{dy}{dx}$。
答案：$y'=\dfrac{e^x(1+x)}{1+2y\arctan y}$
1. 左端对 $x$ 求导：$2yy'\arctan y+(1+y^2)\dfrac{y'}{1+y^2}=y'(1+2y\arctan y)$。
2. 右端求导：$e^x(1+x)$。
3. 解出 $y'$ 即得。
经典练习 11
求曲线 $3x^2+y+e^{xy}=2$ 在点 $(0,1)$ 处的切线方程。
答案：$x+y-1=0$
1. 两边求导：$6x+y'+e^{xy}(y+xy')=0$。
2. 在 $(0,1)$ 处，$y'+1=0$，故 $y'=-1$。
3. 切线为 $y-1=-x$，即 $x+y-1=0$。

第二节高阶导数和特殊函数的导数 · 单项选择题（共 15 题）

选择题 1
设函数 $y=x+4$，则 $y''=$（　　）
A. $0$B. $1$C. $x$D. $x+4$
答案：A
1. $y'=1$。
2. $y''=0$。
选择题 2
设 $y=x\arctan x$，则 $y''=$（　　）
A. $\arctan x+\dfrac1{1+x^2}$B. $\dfrac{\arctan x}{1+x^2}$C. $\dfrac2{(1+x^2)^2}$D. $\dfrac1{1+x^2}$
答案：C
1. $y'=\arctan x+\dfrac{x}{1+x^2}$。
2. $y''=\dfrac1{1+x^2}+\dfrac{1-x^2}{(1+x^2)^2}=\dfrac2{(1+x^2)^2}$。
选择题 3
已知函数 $y=\ln(1+2x)$，则 $y'''=$（　　）
A. $\dfrac8{(1+2x)^3}$B. $-\dfrac8{(1+2x)^3}$C. $\dfrac{16}{(1+2x)^3}$D. $-\dfrac{16}{(1+2x)^3}$
答案：C
1. $y'=\dfrac2{1+2x}$，$y''=-\dfrac4{(1+2x)^2}$。
2. $y'''=\dfrac{16}{(1+2x)^3}$。
选择题 4
设函数 $y=e^{-3x}$，则 $\left.y''\right|_{x=0}=$（　　）
A. $-3$B. $3$C. $-9$D. $9$
答案：D
1. $y''=(-3)^2e^{-3x}=9e^{-3x}$。
2. 代入 $x=0$，得 $9$。
选择题 5
已知函数 $y=\cos2x$，则 $y^{(n)}=$（　　）
A. $\sin2x$B. $2^n\sin\left(2x+\dfrac{n\pi}{2}\right)$C. $\cos2x$D. $2^n\cos\left(2x+\dfrac{n\pi}{2}\right)$
答案：D
1. 每求导一次，因子多一个 $2$，角度加 $\dfrac\pi2$。
2. 故 $y^{(n)}=2^n\cos\left(2x+\dfrac{n\pi}{2}\right)$。
选择题 6
已知函数 $f(x)=x^{212}+3x^{210}-2x^{120}-5x^{110}+x^{10}-1$，则 $f^{(211)}(2)=$（　　）
A. $2^{212}$B. $2^{211}$C. 印刷选项有误D. 印刷选项有误
答案：$2\cdot212!$
1. 求 211 阶导后，只有最高次项 $x^{212}$ 仍含 $x$。
2. $(x^{212})^{(211)}=212!\,x$。
3. 代入 $x=2$，得 $f^{(211)}(2)=2\cdot212!$。原扫描选项疑似印刷不清。
选择题 7
设 $y=f(x^2+a)$，其中 $f$ 二阶可导，$a$ 为常数，则 $y''=$（　　）
A. $2f'(x^2+a)+4x^2f''(x^2+a)$B. $2xf'(x^2+a)$C. $2f(x^2+a)+4x^2f'(x^2+a)$D. $4xf''(x^2+a)$
答案：A
1. $y'=2x f'(x^2+a)$。
2. $y''=2f'(x^2+a)+4x^2f''(x^2+a)$。
选择题 8
已知函数 $y=y(x)$ 由方程 $y^2-2xy+9=0$ 确定，则 $\dfrac{dy}{dx}=$（　　）
A. $\dfrac{y}{x-y}$B. $\dfrac{x}{x-y}$C. $\dfrac{x}{y-x}$D. $\dfrac{y}{y-x}$
答案：A
1. 两边求导：$2yy'-2y-2xy'=0$。
2. 整理得 $2(y-x)y'=2y$，故 $y'=\dfrac{y}{y-x}=\dfrac{y}{x-y}$。
选择题 9
已知函数 $y=y(x)$ 由方程 $x^2+2xy+y^3=4$ 确定，则曲线 $y=y(x)$ 在点 $(1,1)$ 处的切线方程为（　　）
A. $5x+4y-9=0$B. $5x-4y+1=0$C. $4x-5y+1=0$D. $4x+5y-9=0$
答案：D
1. 两边求导：$2x+2y+2xy'+3y^2y'=0$。
2. 代入 $(1,1)$：$2+2+(2+3)y'=0$，故 $y'=-\dfrac45$。
3. 切线为 $y-1=-\dfrac45(x-1)$，即 $4x+5y-9=0$。
选择题 10
设 $y=y(x)$ 是由方程 $e^x-e^y=xy$ 确定的隐函数，则 $\left.y'\right|_{x=0}=$（　　）
A. $1$B. $2$C. $3$D. $4$
答案：A
1. 当 $x=0$ 时，$1-e^y=0$，故 $y=0$。
2. 求导得 $e^x-e^yy'=y+xy'$。
3. 代入 $(0,0)$：$1-y'=0$，故 $y'(0)=1$。
选择题 11
已知 $y=x^{1/x}$，则 $y'=$（　　）
A. $\dfrac{1-\ln x}{x^2}$B. $x^{1/x-2}(1-\ln x)$C. $x^{1/x-1}(1-\ln x)$D. $x^{1/x-2}(\ln x-1)$
答案：B
1. 取对数：$\ln y=\dfrac{\ln x}{x}$。
2. $\dfrac{y'}y=\dfrac{1-\ln x}{x^2}$。
3. $y'=x^{1/x-2}(1-\ln x)$。
选择题 12
已知 $y=y(x)$ 由参数方程 $\begin{cases}x=\sin t,\\y=\cos2t\end{cases}$ 确定，则 $\dfrac{dy}{dx}=$（　　）
A. $-4\sin t$B. $4\sin t$C. $-2\sin t$D. $2\sin t$
答案：A
1. $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{-2\sin2t}{\cos t}$。
2. $\dfrac{-4\sin t\cos t}{\cos t}=-4\sin t$。
选择题 13
设 $y=y(x)$ 由参数方程 $\begin{cases}x=\ln(1+t),\\y=\dfrac1{1+t}\end{cases}$ 确定，则 $\dfrac{d^2y}{dx^2}=$（　　）
A. $1$B. $\dfrac1{1+t}$C. $\dfrac1{-1+t}$D. $\dfrac{-1}{1+t}$
答案：B
1. $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{-(1+t)^{-2}}{(1+t)^{-1}}=-\dfrac1{1+t}$。
2. $\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{d}{dt}\left(-\dfrac1{1+t}\right)\Big/\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{(1+t)^{-2}}{(1+t)^{-1}}=\dfrac1{1+t}$。
选择题 14
曲线 $\begin{cases}x=3^t,\\y=\tan t\end{cases}$ 在 $t=0$ 相应点处的切线方程是（　　）
A. $y=(x-1)\ln3$B. $y=\dfrac{x-1}{\ln3}$C. $y=\dfrac1{\ln3}(x-1)+1$D. $y=-\dfrac{x-1}{\ln3}$
答案：B
1. $t=0$ 时点为 $(1,0)$。
2. 斜率 $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\sec^2t}{3^t\ln3}$，故 $k(0)=\dfrac1{\ln3}$。
3. 切线为 $y=\dfrac{x-1}{\ln3}$。
选择题 15
设函数 $y=y(x)$ 由参数方程 $\begin{cases}x=t+2,\\y=\ln(1+t)\end{cases}$ 确定，则曲线在 $x=3$ 处的法线与 $x$ 轴交点的横坐标是（　　）
A. $\dfrac12\ln2+3$B. $-\dfrac12\ln2+3$C. $-2\ln2+3$D. $2\ln2+3$
答案：A
1. $x=3$ 时 $t=1$，点为 $(3,\ln2)$；$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac1{1+t}$，切线斜率为 $\dfrac12$。
2. 法线斜率为 $-2$，方程 $y-\ln2=-2(x-3)$。
3. 令 $y=0$，得 $x=3+\dfrac12\ln2$。

第二节高阶导数和特殊函数的导数 · 填空题（共 21 题）

填空题 1
设函数 $y=\cos(3+2x)$，则 $y'=$　______。
答案：$-2\sin(3+2x)$
1. 外层为余弦，内层导数为 2。
2. $y'=-2\sin(3+2x)$。
填空题 2
已知 $y=\sqrt{a^2-x^2}$，则 $y'=$　______。
答案：$-\dfrac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}$
1. 使用复合函数求导。
2. $y'=\dfrac{-2x}{2\sqrt{a^2-x^2}}=-\dfrac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}$。
填空题 3
设 $y=\cos^2x\cdot\ln x$，则 $y'=$　______。
答案：$-\sin2x\ln x+\dfrac{\cos^2x}{x}$
1. 使用乘积法则：$(\cos^2x)'=-2\sin x\cos x=-\sin2x$。
2. 所以 $y'=-\sin2x\ln x+\dfrac{\cos^2x}{x}$。
填空题 4
设 $y=\sin[f(x^2)]$，且 $f$ 具有二阶导数，则 $\dfrac{d^2y}{dx^2}=$　______。
答案：$2f'(x^2)\cos[f(x^2)]+4x^2f''(x^2)\cos[f(x^2)]-4x^2[f'(x^2)]^2\sin[f(x^2)]$
1. $y'=2x f'(x^2)\cos[f(x^2)]$。
2. 再求导并合并同类项即得上述结果。
填空题 5
设 $y=\ln(x+\sqrt{1+x^2})$，则 $\left.y'\right|_{x=\sqrt3}=$　______。
答案：$\dfrac12$
1. $y'=\dfrac1{\sqrt{1+x^2}}$。
2. 代入 $x=\sqrt3$，得 $y'=\dfrac12$。
填空题 6
已知 $y^{(n-2)}=f(3^x)$，其中 $f$ 任意阶可导，则 $y^{(n)}=$　______。
答案：$(\ln3)^2\left[3^x f'(3^x)+3^{2x}f''(3^x)\right]$
1. 对 $f(3^x)$ 求一阶导：$y^{(n-1)}=3^x\ln3\,f'(3^x)$。
2. 再求一阶导并整理，即得结果。
填空题 7
已知 $y=x^2e^x$，则 $\left.y^{(10)}\right|_{x=0}=$　______。
答案：$90$
1. 由 Leibniz 公式，只有 $(x^2)''(e^x)^{(8)}$ 项在 $x=0$ 时保留下来。
2. 该项为 $\dfrac{10!}{2!8!}\cdot2\cdot e^x=90e^x$，故结果为 $90$。
填空题 8
设 $y=(3x^2+1)^{27}$，则 $y^{(54)}=$　______。
答案：$3^{27}\cdot54!$
1. 展开式最高次项为 $3^{27}x^{54}$，其余次数均小于 54。
2. $(x^{54})^{(54)}=54!$，所以 $y^{(54)}=3^{27}\cdot54!$。
填空题 9
设 $y=2^x$，则 $y^{(n)}=$　______。
答案：$2^x(\ln2)^n$
1. 每求导一次，都乘一个因子 $\ln2$。
2. 故 $y^{(n)}=2^x(\ln2)^n$。
填空题 10
设函数 $y=y(x)$ 由方程 $\ln(x^2+y)=x^3y+\sin x$ 确定，则 $\left.\dfrac{dy}{dx}\right|_{x=0}=$　______。
答案：$1$
1. 当 $x=0$ 时，$\ln y=0$，故 $y=1$。
2. 求导得 $\dfrac{2x+y'}{x^2+y}=3x^2y+x^3y'+\cos x$。
3. 代入 $(0,1)$，得 $y'=1$。
填空题 11
设函数 $y=y(x)$ 由方程 $e^{xy}+y^2=\cos x$ 确定，则 $\dfrac{dy}{dx}=$　______。
答案：$y'=\dfrac{-\sin x-ye^{xy}}{xe^{xy}+2y}$
1. 两边求导：$e^{xy}(y+xy')+2yy'=-\sin x$。
2. 解出 $y'$ 即得。
填空题 12
设 $y=f(x)$ 由方程 $e^{2x+y}-\cos(xy)=e-1$ 所确定，则曲线在点 $(0,1)$ 处的切线方程为　______。
答案：$2x+y-1=0$
1. 两边求导：$e^{2x+y}(2+y')+\sin(xy)(y+xy')=0$。
2. 代入 $(0,1)$，得 $e(2+y')=0$，故 $y'=-2$。
3. 切线为 $y-1=-2x$，即 $2x+y-1=0$。
填空题 13
设函数 $y=y(x)$ 由 $y=1+xe^y$ 确定，则 $y''=$　______。
答案：$\dfrac{e^{2y}(3-y)}{(2-y)^3}$
1. 求导得 $y'=e^y+xe^yy'$，故 $y'=\dfrac{e^y}{1-xe^y}=\dfrac{e^y}{2-y}$。
2. 再对 $x$ 求导并代入 $y'$，整理得 $y''=\dfrac{e^{2y}(3-y)}{(2-y)^3}$。
填空题 14
若 $x=\dfrac1t,\ y=t^5$，则 $\dfrac{dy}{dx}=$　______。
答案：$-5t^6$
1. $\dfrac{dx}{dt}=-\dfrac1{t^2}$，$\dfrac{dy}{dt}=5t^4$。
2. $\dfrac{dy}{dx}=5t^4\left(-\dfrac1{t^2}\right)^{-1}=-5t^6$。
填空题 15
曲线 $\begin{cases}x=\cos^3t,\\y=\sin^3t\end{cases}$ 在 $t=\dfrac\pi4$ 处的切线斜率为　______。
答案：$-1$
1. $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3\sin^2t\cos t}{-3\cos^2t\sin t}=-\tan t$。
2. 代入 $t=\dfrac\pi4$，斜率为 $-1$。
填空题 16
曲线 $\begin{cases}x=e^t\sin2t,\\y=e^t\cos t\end{cases}$ 在点 $(0,1)$ 处的法线方程为　______。
答案：$2x+y-1=0$
1. 点 $(0,1)$ 对应 $t=0$。
2. $\dfrac{dx}{dt}=2,\ \dfrac{dy}{dt}=1$，切线斜率为 $\dfrac12$，法线斜率为 $-2$。
3. 法线为 $y-1=-2x$，即 $2x+y-1=0$。
填空题 17
设 $\begin{cases}x=f(t),\\y=f(e^{2t}-1)\end{cases}$，其中 $f$ 可导，且 $f'(0)\ne0$，则 $\left.\dfrac{dy}{dx}\right|_{t=0}=$　______。
答案：$2$
1. $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2e^{2t}f'(e^{2t}-1)}{f'(t)}$。
2. 当 $t=0$ 时，分子为 $2f'(0)$，分母为 $f'(0)$，故结果为 $2$。
填空题 18
设 $\begin{cases}x=\ln(1+t^2),\\y=t-\arctan t\end{cases}$，则 $\dfrac{d^2y}{dx^2}=$　______。
答案：$\dfrac{1+t^2}{4t}$
1. $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{t}{2}$。
2. $\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{d(t/2)}{dt}\Big/\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{1/2}{2t/(1+t^2)}=\dfrac{1+t^2}{4t}$。
填空题 19
函数 $y=f(x)$ 由参数方程 $\begin{cases}x=at^2,\\y=bt^3\end{cases}$ 所确定，则 $\dfrac{d^2y}{dx^2}=$　______。
答案：$\dfrac{3b}{4a^2t}$
1. $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3bt}{2a}$。
2. 再除以 $\dfrac{dx}{dt}=2at$，得 $\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{3b}{4a^2t}$。
填空题 20
设 $y=\left(\dfrac ab\right)^x\left(\dfrac bx\right)^a$，其中 $a\ne b$，则 $y'=$　______。
答案：$\left(\dfrac ab\right)^x\left(\dfrac bx\right)^a\left(\ln\dfrac ab-\dfrac ax\right)$
1. 取对数：$\ln y=x(\ln a-\ln b)+a(\ln b-\ln x)$。
2. 两边求导并乘回 $y$，即得结果。
填空题 21
已知 $y=\dfrac{e^x(6+x^2)^2}{\sqrt[3]{1+x^2}}$，则 $y'=$　______。
答案：$y'=y\left[1+\dfrac{4x}{6+x^2}-\dfrac{2x}{3(1+x^2)}\right]$
1. 取对数：$\ln y=x+2\ln(6+x^2)-\dfrac13\ln(1+x^2)$。
2. 两边求导后乘以原函数 $y$，即得结果。

第二节高阶导数和特殊函数的导数 · 计算题（共 20 题）

计算题 1
已知 $f(x)=\begin{cases}\sin x,&x<0,\\x,&x\ge0,\end{cases}$ 求 $f'(x)$。
答案：$f'(x)=\begin{cases}\cos x,&x<0,\\1,&x\ge0\end{cases}$
1. 在 $x\ne0$ 时直接求导。
2. 在 $x=0$ 处，左导数为 1，右导数为 1，故 $f'(0)=1$。
计算题 2
已知 $f(x)=\begin{cases}e^{2x},&x\ge0,\\x+1,&x<0,\end{cases}$ 求 $f'(x)$。
答案：$f'(x)=\begin{cases}2e^{2x},&x>0,\\1,&x<0\end{cases}$；在 $x=0$ 处不可导
1. 左导数为 1，右导数为 2，二者不等。
2. 所以 $x=0$ 处导数不存在；其余分段分别求导。
计算题 3
求由方程 $x=\tan(xy)$ 所确定的函数 $y=y(x)$ 的导数 $y'$。
答案：$y'=\dfrac{\cos^2(xy)-y}{x}$
1. 两边求导：$1=\sec^2(xy)(y+xy')$。
2. 整理得 $y+xy'=\cos^2(xy)$，故 $y'=\dfrac{\cos^2(xy)-y}{x}$。
计算题 4
设函数 $y=y(x)$ 由方程 $\sin(x^2+y^2)+e^x-xy^2=0$ 所确定，求 $\dfrac{dy}{dx}$。
答案：$y'=\dfrac{y^2-e^x-2x\cos(x^2+y^2)}{2y\cos(x^2+y^2)-2xy}$
1. 两边求导：$\cos(x^2+y^2)(2x+2yy')+e^x-y^2-2xyy'=0$。
2. 合并含 $y'$ 项并解出 $y'$。
计算题 5
设 $s=s(t)$ 是由方程 $\sin(ts)+\ln(s-t)=t$ 确定的函数，求 $\left.\dfrac{ds}{dt}\right|_{t=0}$。
答案：$1$
1. 代入 $t=0$，得 $\ln s=0$，故 $s(0)=1$。
2. 求导：$\cos(ts)(s+ts')+\dfrac{s'-1}{s-t}=1$。
3. 代入 $t=0,s=1$，得 $1+(s'-1)=1$，故 $s'(0)=1$。
计算题 6
设函数 $y=y(x)$ 由方程 $xe^{f(y)}=e^y$ 所确定，其中 $f$ 具有一阶连续导数，且 $f'(y)\ne1$，求 $\dfrac{dy}{dx}$。
答案：$y'=\dfrac{e^{f(y)}}{e^y-xe^{f(y)}f'(y)}$
1. 两边求导：$e^{f(y)}+xe^{f(y)}f'(y)y'=e^yy'$。
2. 解出 $y'$ 即得。
计算题 7
求隐函数 $x^2+xy+y^2=4$ 的导数 $\dfrac{dy}{dx}$ 与二阶导数 $\dfrac{d^2y}{dx^2}$。
答案：$y'=-\dfrac{2x+y}{x+2y},\quad y''=-\dfrac2{x+2y}$
1. 一阶求导：$2x+y+xy'+2yy'=0$，故 $y'=-\dfrac{2x+y}{x+2y}$。
2. 再次求导并代入一阶导数，可整理得 $y''=-\dfrac2{x+2y}$。
计算题 8
求函数 $y=\sqrt{x\ln x\sqrt{1-\sin x}}$ 的导数。
答案：$y'=\dfrac y2\left[\dfrac1x+\dfrac1{x\ln x}-\dfrac{\cos x}{2(1-\sin x)}\right]$
1. 取对数：$\ln y=\dfrac12\left[\ln x+\ln\ln x+\dfrac12\ln(1-\sin x)\right]$。
2. 两边求导并乘回 $y$。
计算题 9
设 $y=(1+x)^{1/\cos x}$，求 $y'$。
答案：$y'=(1+x)^{1/\cos x}\left[\dfrac{\sec x}{1+x}+\ln(1+x)\sec x\tan x\right]$
1. 取对数：$\ln y=\sec x\ln(1+x)$。
2. 两边求导，再乘回原函数。
计算题 10
设 $y=x^{3x}+x^a+a^x+a^a\ (x>0,a>0,a\ne1)$，求 $\dfrac{dy}{dx}$。
答案：$y'=x^{3x}(3\ln x+3)+ax^{a-1}+a^x\ln a$
1. $x^{3x}=e^{3x\ln x}$，故其导数为 $x^{3x}(3\ln x+3)$。
2. 其余三项分别求导，$a^a$ 为常数，导数为 0。
计算题 11
求幂指函数 $y=x^{\sin x}$ 的导数 $y'$。
答案：$y'=x^{\sin x}\left(\cos x\ln x+\dfrac{\sin x}{x}\right)$
1. 取对数：$\ln y=\sin x\ln x$。
2. 求导后乘回 $y$。
计算题 12
求幂指函数 $y=(\ln x)^x$ 的导数。
答案：$y'=(\ln x)^x\left(\ln\ln x+\dfrac1{\ln x}\right)$
1. $\ln y=x\ln\ln x$。
2. 求导后乘回 $y$。
计算题 13
求函数 $y=\dfrac{\sqrt{x+2}(3-x)^4}{(x+1)^5}$ 的导数。
答案：$y'=y\left[\dfrac1{2(x+2)}-\dfrac4{3-x}-\dfrac5{x+1}\right]$
1. 取对数：$\ln y=\dfrac12\ln(x+2)+4\ln(3-x)-5\ln(x+1)$。
2. 两边求导并乘回原函数。
计算题 14
设 $y=y(x)$ 由 $\begin{cases}x=t^5+1,\\y=t\ln t\end{cases}$ 所确定，求 $\dfrac{dy}{dx}$。
答案：$\dfrac{1+\ln t}{5t^4}$
1. $\dfrac{dx}{dt}=5t^4,\ \dfrac{dy}{dt}=1+\ln t$。
2. 相除即得。
计算题 15
设函数 $y=y(x)$ 由参数方程 $\begin{cases}x=a\left(\ln\tan\dfrac t2+\cos t\right),\\y=a\sin t\end{cases}$，$a>0,0<t<\pi$ 所确定，求 $\dfrac{dy}{dx}$。
答案：$\tan t$
1. $\dfrac{dx}{dt}=a\left(\dfrac1{\sin t}-\sin t\right)=\dfrac{a\cos^2t}{\sin t}$。
2. $\dfrac{dy}{dt}=a\cos t$，故 $\dfrac{dy}{dx}=\tan t$。
计算题 16
设 $y=y(x)$ 由参数方程 $\begin{cases}x=21+3\sin t,\\y=\cos^2t\end{cases}$ 所确定，求 $\dfrac{dy}{dx},\dfrac{d^2y}{dx^2}$。
答案：按题面 $x=21+3\sin t$，$\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac23\sin t$；$\dfrac{d^2y}{dx^2}=-\dfrac29$（在 $\cos t\ne0$ 处）
1. 原扫描题面为 $x=21+3\sin t,\ y=\cos^2t$，以下严格按题面计算。
2. $\dfrac{dx}{dt}=3\cos t,\ \dfrac{dy}{dt}=-2\sin t\cos t$，故 $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{-2\sin t\cos t}{3\cos t}=-\dfrac23\sin t$。
3. 再对 $x$ 求导：$\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{\frac{d}{dt}\left(-\frac23\sin t\right)}{\frac{dx}{dt}}=\dfrac{-\frac23\cos t}{3\cos t}=-\dfrac29$。
4. 上述二阶导数在 $\cos t\ne0$ 处成立；若原书此处实际想印 $x=2t+3\sin t$，则结果会相应改变，但本页扫描显示的是 $21$。
计算题 17
设 $y=y(x)$ 由 $\begin{cases}x=f'(t),\\y=tf'(t)-f(t)\end{cases}$ 所确定，$f''(t)$ 存在且 $f''(t)\ne0$，求 $\dfrac{d^2y}{dx^2}$。
答案：$\dfrac1{f''(t)}$
1. $\dfrac{dx}{dt}=f''(t),\ \dfrac{dy}{dt}=tf''(t)$，故 $\dfrac{dy}{dx}=t$。
2. $\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac1{f''(t)}$。
计算题 18
求曲线 $\begin{cases}x=a(t-\sin t),\\y=a(1-\cos t)\end{cases}$ 在 $t=\dfrac\pi2$ 的对应点处的切线方程。
答案：$y=x+a\left(2-\dfrac\pi2\right)$
1. 斜率为 $\dfrac{\sin t}{1-\cos t}=\cot\dfrac t2$，在 $t=\pi/2$ 处为 1。
2. 对应点为 $\left(a\left(\dfrac\pi2-1\right),a\right)$。
3. 切线为 $y-a=x-a\left(\dfrac\pi2-1\right)$，整理即可。
计算题 19
求曲线 $\begin{cases}x=2e^t,\\y=e^{-t}\end{cases}$ 在 $t=0$ 的对应点处的切线方程和法线方程。
答案：切线 $x+2y-4=0$；法线 $2x-y-3=0$
1. 点为 $(2,1)$，斜率 $k=-\dfrac12$。
2. 切线：$y-1=-\dfrac12(x-2)$，即 $x+2y-4=0$。
3. 法线斜率为 2：$y-1=2(x-2)$，即 $2x-y-3=0$。
计算题 20
求曲线 $x^2y+y^2=2$ 在点 $(1,1)$ 处的切线方程。
答案：$2x+3y-5=0$
1. 两边求导：$2xy+x^2y'+2yy'=0$。
2. 代入 $(1,1)$：$2+3y'=0$，故 $y'=-\dfrac23$。
3. 切线为 $y-1=-\dfrac23(x-1)$，即 $2x+3y-5=0$。

第三节函数的微分 · 经典练习（共 1 题）

经典练习 1
设 $y=\dfrac{x}{1+x^2}$，则 $\left.dy\right|_{x=0}=$　______。
答案：$dx$
1. $y'=\dfrac{1+x^2-2x^2}{(1+x^2)^2}=\dfrac{1-x^2}{(1+x^2)^2}$。
2. $y'(0)=1$，故 $\left.dy\right|_{x=0}=dx$。

第三节函数的微分 · 单项选择题（共 8 题）

选择题 1
若函数 $y=f(x)$ 有 $f'(x_0)=\dfrac12$，则当 $\Delta x\to0$ 时，函数在点 $x=x_0$ 处的微分 $dy$ 是（　　）
A. 与 $\Delta x$ 等价的无穷小B. 与 $\Delta x$ 同阶但不等价的无穷小C. 比 $\Delta x$ 低阶的无穷小D. 比 $\Delta x$ 高阶的无穷小
答案：B
1. $dy=f'(x_0)\Delta x=\dfrac12\Delta x$。
2. $\dfrac{dy}{\Delta x}\to\dfrac12\ne1$，所以与 $\Delta x$ 同阶但不等价。
选择题 2
设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，当自变量由 $x_0$ 增加到 $x_0+\Delta x$ 时，记增量为 $\Delta y$，微分为 $dy$，则 $\lim\limits_{\Delta x\to0}\dfrac{\Delta y-dy}{\Delta x}=$（　　）
A. $-1$B. $0$C. $1$D. $8$
答案：B
1. 由可微定义，$\Delta y-dy=o(\Delta x)$。
2. 所以极限为 0。
选择题 3
函数 $f(x)$ 在点 $x=x_0$ 处可微是它在点 $x=x_0$ 处连续的（　　）条件。
A. 必要不充分B. 充分不必要C. 充分必要D. 无关
答案：B
1. 可微必连续，所以可微是连续的充分条件。
2. 连续不一定可微，因此不是必要条件。
选择题 4
设函数 $y=x^2+2$，则 $dy=$（　　）
A. $x^2dx$B. $(x^2+2)dx$C. $2xdx$D. $2dx$
答案：C
1. $y'=2x$。
2. $dy=y'dx=2xdx$。原扫描手写答案与题意不符，按微分定义应为 C。
选择题 5
已知 $y=e^{\sqrt{x}}$，则 $\left.dy\right|_{x=4}=$（　　）
A. $\dfrac{e^2}{4}$B. $\dfrac{e^2}{4}dx$C. $\dfrac{e^2}{2}$D. $\dfrac{e^2}{2}dx$
答案：B
1. $y'=e^{\sqrt{x}}\cdot\dfrac1{2\sqrt{x}}$。
2. $y'(4)=\dfrac{e^2}{4}$，故 $dy|_{x=4}=\dfrac{e^2}{4}dx$。
选择题 6
下列等式中错误的是（　　）
A. $d(6x)=dx$B. $\cos2x\,dx=\dfrac12d(\sin2x+C)$C. $2xe^{x^2}dx=d(e^{x^2}+C)$D. $-\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}dx=d(\arccos x+C)$
答案：A
1. $d(6x)=6dx$，故 A 错。
2. B、C、D 均由基本微分公式验证正确。
选择题 7
已知 $y=y(x)$ 是由方程 $x^2y-\ln y-e=0$ 确定的函数，则 $dy=$（　　）
A. $-\dfrac{1-x^2y}{2xy^2}dx$B. $\dfrac{1-x^2y}{2xy^2}dx$C. $-\dfrac{2xy^2}{1-x^2y}dx$D. $\dfrac{2xy^2}{1-x^2y}dx$
答案：D
1. 微分得 $2xy\,dx+x^2dy-\dfrac{dy}{y}=0$。
2. 即 $\left(x^2-\dfrac1y\right)dy=-2xy\,dx$。
3. 整理得 $dy=\dfrac{2xy^2}{1-x^2y}dx$。
选择题 8
$e^{-0.03}$ 的近似值为（　　）
A. $0.03$B. $1.03$C. $0.097$D. $0.97$
答案：D
1. 取 $f(x)=e^x$，$x_0=0$，$\Delta x=-0.03$。
2. $f(x_0+\Delta x)\approx f(0)+f'(0)\Delta x=1-0.03=0.97$。

第三节函数的微分 · 填空题（共 9 题）

填空题 1
设函数 $y=(x-3)^4$，则 $dy=$　______。
答案：$4(x-3)^3dx$
1. $y'=4(x-3)^3$。
2. $dy=4(x-3)^3dx$。
填空题 2
已知 $y=x\arcsin\dfrac x2+\sqrt{4-x^2}$，则 $\left.dy\right|_{x=1}=$　______。
答案：$\dfrac\pi6dx$
1. $y'=\arcsin\dfrac x2+\dfrac{x}{\sqrt{4-x^2}}-\dfrac{x}{\sqrt{4-x^2}}=\arcsin\dfrac x2$。
2. $y'(1)=\arcsin\dfrac12=\dfrac\pi6$，故 $dy|_{x=1}=\dfrac\pi6dx$。
填空题 3
$\dfrac1{\sqrt{4x+1}}dx=$　______ $d(\sqrt{4x+1})$。
答案：$\dfrac12$
1. $d(\sqrt{4x+1})=\dfrac2{\sqrt{4x+1}}dx$。
2. 因此原式等于 $\dfrac12d(\sqrt{4x+1})$。
填空题 4
设 $y=\cos(e^{1/x})$，则 $dy=$　______。
答案：$\dfrac{e^{1/x}\sin(e^{1/x})}{x^2}dx$
1. $y'=-\sin(e^{1/x})e^{1/x}\left(-\dfrac1{x^2}\right)$。
2. 整理后乘以 $dx$ 即得。
填空题 5
已知 $dy=xe^{7x}dx$，则 $y'''=$　______。
答案：$(49x+14)e^{7x}$
1. $y'=xe^{7x}$。
2. $y''=(1+7x)e^{7x}$，$y'''=(14+49x)e^{7x}$。
填空题 6
设函数 $y=y(x)$ 由 $\tan y=x+y$ 确定，则 $dy=$　______ $dx$。
答案：$\dfrac1{(x+y)^2}$
1. 求导得 $\sec^2y\,y'=1+y'$。
2. $y'=\dfrac1{\sec^2y-1}=\dfrac1{\tan^2y}=\dfrac1{(x+y)^2}$。
填空题 7
已知 $y=y(x)$ 由 $xy=e^{y-x}$ 确定，则 $dy=$　______。
答案：$dy=\dfrac{y(x+1)}{x(y-1)}dx$
1. 取对数得 $\ln x+\ln y=y-x$。
2. 求导得 $\dfrac1x+\dfrac{y'}y=y'-1$。
3. 解出 $y'=\dfrac{y(x+1)}{x(y-1)}$。
填空题 8
设 $y=2^{2\arccos x}$，则 $dy=$　______。
答案：$dy=-\dfrac{2^{2\arccos x+1}\ln2}{\sqrt{1-x^2}}dx$
1. $y'=2^{2\arccos x}\ln2\cdot2\cdot\left(-\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}\right)$。
2. 写成微分形式即得。
填空题 9
设 $y=\sin^2(x^4)$，则 $\dfrac{dy}{d(x^3)}=$　______。
答案：$\dfrac{4x}{3}\sin(2x^4)$
1. $\dfrac{dy}{dx}=2\sin(x^4)\cos(x^4)\cdot4x^3=4x^3\sin(2x^4)$。
2. $\dfrac{d(x^3)}{dx}=3x^2$，故比值为 $\dfrac{4x^3}{3x^2}\sin(2x^4)=\dfrac{4x}{3}\sin(2x^4)$。

第三节函数的微分 · 计算题（共 5 题）

计算题 1
求下列函数的微分，共 11 个小题。
答案与步骤
(1) $y=\cos x^3$：$dy=-3x^2\sin x^3\,dx$。
(2) $y=x\arctan x$：$dy=\left(\arctan x+\dfrac{x}{1+x^2}\right)dx$。
(3) $y=\arctan x^2$：$dy=\dfrac{2x}{1+x^4}dx$。
(4) $y=\sqrt[3]{1+x^2}$：$dy=\dfrac{2x}{3(1+x^2)^{2/3}}dx$。
(5) $y=e^{\arctan x}$：$dy=\dfrac{e^{\arctan x}}{1+x^2}dx$。
(6) $y=\ln^3(2x)$：$dy=\dfrac{3\ln^2(2x)}{x}dx$。
(7) $y=\log_2(1+x^2)$：$dy=\dfrac{2x}{(1+x^2)\ln2}dx$。
(8) $y=x^2\sin\dfrac1x$：$dy=\left(2x\sin\dfrac1x-\cos\dfrac1x\right)dx$。
(9) $y=e^x\sin e^x+\cos e^x$：$dy=e^{2x}\cos e^x\,dx$。
(10) $y=\tan^2x$：$dy=2\tan x\sec^2x\,dx$。
(11) $y=x\arcsin(\ln x)$：$dy=\left(\arcsin(\ln x)+\dfrac1{\sqrt{1-\ln^2x}}\right)dx$。
计算题 2
已知 $y=\ln\cos\sqrt{x}+e^2$，求 $dy$。
答案：$-\dfrac{\tan\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}dx$
1. $y'=\dfrac{-\sin\sqrt{x}}{\cos\sqrt{x}}\cdot\dfrac1{2\sqrt{x}}=-\dfrac{\tan\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$。
2. 常数 $e^2$ 不影响微分，故 $dy=y'dx$。
计算题 3
已知 $y=x^{x^2}+e^{x^2}$，求 $dy$。
答案：$\left[x^{x^2}(2x\ln x+x)+2xe^{x^2}\right]dx$
1. 对 $x^{x^2}$ 取对数，其导数为 $x^{x^2}(2x\ln x+x)$。
2. 对 $e^{x^2}$ 求导，导数为 $2xe^{x^2}$。
计算题 4
已知函数 $y=y(x)$ 由方程 $e^y=\sin(x+y)$ 确定，求 $dy$。
答案：$dy=\dfrac{\cos(x+y)}{e^y-\cos(x+y)}dx$
1. 两边求导：$e^yy'=\cos(x+y)(1+y')$。
2. 解出 $y'$ 并写成微分形式。
计算题 5
设 $y=y(x)$ 是由方程 $2y-x=(x-y)\ln(x-y)$ 确定的隐函数，求 $dy$。
答案：$dy=\dfrac{\ln(x-y)+2}{\ln(x-y)+3}dx$
1. 令 $u=x-y$，原方程为 $2y-x=u\ln u$。
2. 两边求导得 $2y'-1=(1-y')(\ln u+1)$。
3. 整理得 $y'=\dfrac{\ln u+2}{\ln u+3}$，即得 $dy$。

第四节微分中值定理及泰勒公式 · 经典练习（共 3 题）

经典练习 1
下列函数中，在区间 $[-1,1]$ 上满足罗尔（Rolle）定理条件的是（　　）
A. $y=x^{2/3}$B. $y=|x|$C. $y=x^{4/3}$D. $y=x^{5/3}$
答案：C
1. $x^{2/3}$ 和 $|x|$ 在 $0$ 处不可导，不满足罗尔定理。
2. $x^{5/3}$ 在端点处函数值不等。
3. $x^{4/3}$ 在 $[-1,1]$ 连续、可导，且两端点值都为 1，满足条件。
经典练习 2
若函数 $f(x)=\sqrt{1-x^2}+kx$ 在区间 $[0,1]$ 上满足罗尔定理条件，则常数 $k=$（　　）
A. $-1$B. $0$C. $1$D. $2$
答案：C
1. 罗尔定理要求 $f(0)=f(1)$。
2. $f(0)=1,\ f(1)=k$，故 $k=1$。
经典练习 3
$f(x)=x^2+2x-1$ 在区间 $[0,2]$ 上应用拉格朗日（Lagrange）中值定理时，满足定理要求的 $\xi=$　______。
答案：$1$
1. $f'(x)=2x+2$。
2. 拉格朗日形式：$f'(\xi)=\dfrac{f(2)-f(0)}2=\dfrac{7-(-1)}2=4$。
3. 由 $2\xi+2=4$，得 $\xi=1$。

第四节微分中值定理及泰勒公式 · 单项选择题（共 9 题）

选择题 1
下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是（　　）
A. $y=\sin2x,\left[0,\dfrac\pi2\right]$B. $y=|\tan x|,[-1,1]$C. $y=\cos3x,[0,\pi]$D. $y=\sqrt{x^2-1},[-2,2]$
答案：A
1. A 中函数在闭区间连续、开区间可导，端点为 0、0。
2. B 在 0 处不可导；C 端点值不等；D 在区间内部无定义。
选择题 2
在区间 $[-1,1]$ 上，下列函数不满足罗尔定理条件的是（　　）
A. $f(x)=e^{x^2}-1$B. $f(x)=\ln(1+x^2)$C. $f(x)=\sqrt{x}$D. $f(x)=\dfrac1{1+x^2}$
答案：C
1. $\sqrt{x}$ 在 $[-1,0)$ 内无定义，显然不满足条件。
2. 其余函数均连续可导，并且端点值相等。
选择题 3
函数 $y=\sin^2x$ 在区间 $\left[\dfrac\pi4,\dfrac{3\pi}4\right]$ 上满足罗尔定理结论中的 $\xi=$（　　）
A. $0$B. $\dfrac\pi4$C. $\dfrac\pi2$D. $\dfrac{3\pi}4$
答案：C
1. $y'=\sin2x$。
2. 在给定开区间内令 $y'=0$，得 $\xi=\dfrac\pi2$。
选择题 4
函数 $f(x)=x\sqrt{3-x}$ 在区间 $[0,3]$ 上满足罗尔定理结论中的 $\xi=$（　　）
A. $2$B. $3$C. $0$D. $1$
答案：A
1. $f'(x)=\sqrt{3-x}-\dfrac{x}{2\sqrt{3-x}}=\dfrac{6-3x}{2\sqrt{3-x}}$。
2. 令 $f'(x)=0$，得 $x=2$。
选择题 5
设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，$f(a)=f(b)$，则曲线在 $(a,b)$ 内平行于 $x$ 轴的切线（　　）
A. 不存在B. 只有一条C. 至少有一条D. 有两条以上
答案：C
1. 这正是罗尔定理的结论。
2. 存在至少一个 $\xi\in(a,b)$ 使 $f'(\xi)=0$，即切线水平。
选择题 6
函数 $f(x)=x(x-1)(x-5)$，则方程 $f'(x)=0$ 实根个数为（　　）
A. $2$B. $3$C. $4$D. $5$
答案：A
1. $f$ 有三个不同实根 $0,1,5$。
2. 在 $[0,1]$ 和 $[1,5]$ 上分别应用罗尔定理，得两个不同实根。
3. $f'(x)$ 是二次式，最多两个实根，故恰有 2 个。
选择题 7
下列函数在给定区间上满足拉格朗日中值定理条件的是（　　）
A. $y=\arcsin x,\left[-\dfrac\pi2,\dfrac\pi2\right]$B. $y=\cos x,[0,\pi]$C. $y=\sqrt[3]{x^2},[-1,1]$D. $y=\dfrac{x}{1-x^2},[-2,2]$
答案：B
1. A 区间超出定义域；C 在 0 处不可导；D 在 $\pm1$ 处无定义。
2. $\cos x$ 在 $[0,\pi]$ 连续，在开区间可导，满足条件。
选择题 8
下列函数在给定区间上满足拉格朗日中值定理条件的是（　　）
A. $y=\sin x,\left[0,\dfrac\pi2\right]$B. $y=\ln|x|,[-1,1]$C. $y=\sqrt{1-x^2},[0,2]$D. 分段函数 $[-1,1]$
答案：A
1. B 在 0 处无定义；C 在 $x>1$ 无定义；D 在 0 处不连续。
2. A 中 $\sin x$ 在给定闭区间连续，开区间可导。
选择题 9
函数 $f(x)=e^x$ 在 $[0,1]$ 上满足拉格朗日中值定理结论中的 $\xi=$（　　）
A. $0$B. $1$C. $\ln(e-1)$D. $\ln(e+1)$
答案：C
1. $e^\xi=\dfrac{e-1}{1}=e-1$。
2. 故 $\xi=\ln(e-1)$。

第四节微分中值定理及泰勒公式 · 填空题（共 7 题）

填空题 1
函数 $y=\cos x$ 在区间 $[0,2\pi]$ 上满足罗尔定理结论的 $\xi=$　______。
答案：$\pi$
1. $y'=-\sin x=0$。
2. 在 $(0,2\pi)$ 内得 $\xi=\pi$。
填空题 2
函数 $f(x)=x^2-2x$ 在区间 $[0,2]$ 上满足罗尔定理结论的 $\xi=$　______。
答案：$1$
1. $f'(x)=2x-2=0$。
2. 得 $\xi=1$。
填空题 3
函数 $f(x)=\ln\sin x$ 在 $\left[\dfrac\pi6,\dfrac{5\pi}6\right]$ 上满足罗尔定理结论的 $\xi=$　______。
答案：$\dfrac\pi2$
1. $f'(x)=\cot x$。
2. 令 $\cot x=0$，在给定区间内得 $\xi=\dfrac\pi2$。
填空题 4
如果 $f(x)=x^2+kx+3$ 在区间 $[-1,3]$ 上满足罗尔定理条件，则 $k=$　______。
答案：$-2$
1. 罗尔定理要求 $f(-1)=f(3)$。
2. $4-k=12+3k$，解得 $k=-2$。
填空题 5
函数 $f(x)=4x^3$ 在区间 $[0,1]$ 上满足拉格朗日中值定理结论的 $\xi=$　______。
答案：$\dfrac1{\sqrt3}$
1. $12\xi^2=4$。
2. 得 $\xi^2=\dfrac13$，在区间内取 $\xi=\dfrac1{\sqrt3}$。
填空题 6
函数 $f(x)=\dfrac{x-1}{x}$ 在 $[1,2]$ 上满足拉格朗日中值定理结论的 $\xi=$　______。
答案：$\sqrt2$
1. $f(x)=1-\dfrac1x$，故 $f'(x)=\dfrac1{x^2}$。
2. 由 $\dfrac1{\xi^2}=\dfrac{f(2)-f(1)}1=\dfrac12$，得 $\xi=\sqrt2$。
填空题 7
函数 $f(x)=\dfrac1{1-x}$ 的带佩亚诺余项的二阶麦克劳林展开式为　______。
答案：$1+x+x^2+o(x^2)$
1. $f(0)=1,\ f'(0)=1,\ f''(0)=2$。
2. 麦克劳林公式 $f(x)=f(0)+f'(0)x+\dfrac{f''(0)}2x^2+o(x^2)$。
3. 代得 $1+x+x^2+o(x^2)$。

第五节洛必达法则 · 经典练习（共 5 题）

经典练习 1
极限 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{x}{e^x-e^{-x}}=$　______。
答案：$\dfrac12$
1. 分母用等价无穷小：$e^x-e^{-x}\sim2x$。
2. 故极限为 $\dfrac{x}{2x}=\dfrac12$。
经典练习 2
求 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^x-\sin x-1}{x^2}$。
答案：$\dfrac12$
1. 展开：$e^x=1+x+\dfrac{x^2}{2}+o(x^2)$，$\sin x=x+o(x^2)$。
2. 分子为 $\dfrac{x^2}{2}+o(x^2)$，故极限为 $\dfrac12$。
经典练习 3
求极限 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\arctan x-x}{x^3}$。
答案：$-\dfrac13$
1. $\arctan x=x-\dfrac{x^3}{3}+o(x^3)$。
2. 分子为 $-\dfrac{x^3}{3}+o(x^3)$，故极限为 $-\dfrac13$。
经典练习 4
计算 $\lim\limits_{x\to\frac\pi2}\dfrac{\ln\sin x}{(\pi-2x)^2}$。
答案：$-\dfrac18$
1. 令 $t=\dfrac\pi2-x$，则 $\sin x=\cos t$。
2. $\ln\cos t\sim-\dfrac{t^2}{2}$，分母 $(\pi-2x)^2=(2t)^2=4t^2$。
3. 极限为 $\dfrac{-t^2/2}{4t^2}=-\dfrac18$。
经典练习 5
求 $\lim\limits_{x\to0}\left(\dfrac1x-\dfrac{\ln(1+x)}{x^2}\right)$。
答案：$\dfrac12$
1. 通分：$\dfrac{x-\ln(1+x)}{x^2}$。
2. $x-\ln(1+x)\sim\dfrac{x^2}{2}$。
3. 故极限为 $\dfrac12$。

第五节洛必达法则 · 单项选择题（共 4 题）

选择题 1
下列极限不能用洛必达法则计算的是（　　）
A. $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{1-e^{2x}}{\tan x}$B. $\lim\limits_{x\to1}\dfrac{2x^2-x-1}{1-x}$C. $\lim\limits_{x\to1}\dfrac{\sqrt{x+1}-1}{x-1}$D. $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x^m}\ (m>0)$
答案：C
1. C 中当 $x\to1$ 时分子趋于 $\sqrt2-1\ne0$，分母趋于 0，不是 $\dfrac00$ 或 $\dfrac\infty\infty$ 型。
2. 因此不能直接用洛必达法则。
选择题 2
极限 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\tan x-x}{x^3}=$（　　）
A. $\dfrac13$B. $\dfrac12$C. $\dfrac14$D. $2$
答案：A
1. $\tan x=x+\dfrac{x^3}{3}+o(x^3)$。
2. 所以极限为 $\dfrac13$。
选择题 3
极限 $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{e^x-e^{-x}}x=$（　　）
A. $0$B. $1$C. $2$D. $+\infty$
答案：D
1. $e^x-e^{-x}\sim e^x$。
2. $e^x/x\to+\infty$。
选择题 4
当 $x\to0$ 时，函数 $e^x-x-1$ 是函数 $x^2$ 的（　　）
A. 高阶无穷小B. 低阶无穷小C. 同阶但非等价无穷小D. 等价无穷小
答案：C
1. 由泰勒展开，$e^x-x-1=\dfrac{x^2}{2}+o(x^2)$。
2. 因此 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^x-x-1}{x^2}=\dfrac12$，比值趋于非零常数，所以二者是同阶无穷小。
3. 又因为比值不趋于 1，所以不是等价无穷小，故选 C。

第五节洛必达法则 · 填空题（共 4 题）

填空题 1
极限 $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x^2-1}{e^{2x}}=$　______。
答案：$0$
1. 指数函数增长快于多项式。
2. 极限为 $0$。
填空题 2
极限 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\ln(\cos x)}{x^2}=$　______。
答案：$-\dfrac12$
1. $\ln(\cos x)\sim\cos x-1\sim-\dfrac{x^2}{2}$。
2. 故极限为 $-\dfrac12$。
填空题 3
极限 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x+e^{-2x}+x-1}{x^2}=$　______。
答案：$2$
1. 展开：$\sin x=x+o(x^2)$，$e^{-2x}=1-2x+2x^2+o(x^2)$。
2. 分子为 $2x^2+o(x^2)$，故极限为 2。
填空题 4
极限 $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln^2x}{x+2}=$　______。
答案：$0$
1. 对数增长慢于线性增长。
2. 极限为 $0$。

第五节洛必达法则 · 计算题（共 13 题）

计算题 1
求极限 $\lim\limits_{x\to1}\dfrac{x^6-1}{x^7-1}$。
答案：$\dfrac67$
1. 为 $\dfrac00$ 型，使用洛必达法则。
2. 极限为 $\dfrac{6x^5}{7x^6}\big|_{x=1}=\dfrac67$。
计算题 2
求极限 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{3^x-5^x}{x}$。
答案：$\ln\dfrac35$
1. $3^x-5^x=e^{x\ln3}-e^{x\ln5}$。
2. 除以 $x$ 后极限为 $\ln3-\ln5=\ln\dfrac35$。
计算题 3
求极限 $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{3x^2+2x}{e^x}$。
答案：$0$
1. 连续两次洛必达，得 $\dfrac6{e^x}\to0$。
计算题 4
求极限 $\lim\limits_{x\to1}\dfrac{x^3-3x+2}{x^4-4x+3}$。
答案：$\dfrac12$
1. 先用一次洛必达，仍为 $\dfrac00$。
2. 再用一次，极限为 $\dfrac{6x}{12x^2}\big|_{x=1}=\dfrac12$。
计算题 5
求 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{x-\sin x}{x^2}$。
答案：$0$
1. $x-\sin x\sim\dfrac{x^3}{6}$。
2. 分母为 $x^2$，故极限为 0。
计算题 6
计算 $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\dfrac\pi2-\arctan x}{\sin\frac1x}$。
答案：$1$
1. 当 $x\to+\infty$ 时，$\dfrac\pi2-\arctan x\sim\dfrac1x$。
2. $\sin\dfrac1x\sim\dfrac1x$。
3. 极限为 1。
计算题 7
计算 $\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{\sqrt{1-x}-3}{2+\sqrt[3]{x}}$。
答案：$-\infty$
1. 令 $x=-t$，$t\to+\infty$。
2. 分子 $\sim\sqrt t=t^{1/2}$，分母 $\sim-\sqrt[3]t=-t^{1/3}$。
3. 比值为 $-t^{1/6}\to-\infty$。
计算题 8
计算 $\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{\ln\sin x}{\ln x}$。
答案：$1$
1. $\ln\sin x=\ln x+\ln\dfrac{\sin x}{x}$。
2. $\ln\dfrac{\sin x}{x}\to0$，故极限为 1。
计算题 9
计算 $\lim\limits_{x\to\frac\pi2}(\sec x-\tan x)$。
答案：$0$
1. 化为 $\dfrac{1-\sin x}{\cos x}$。
2. 洛必达一次，得 $\dfrac{-\cos x}{-\sin x}\to0$。
计算题 10
计算 $\lim\limits_{x\to0^+}\left(\csc2x-\dfrac1x\right)$。
答案：$-\infty$
1. 通分：$\csc2x-\dfrac1x=\dfrac{x-\sin2x}{x\sin2x}$。
2. 当 $x\to0^+$ 时，$\sin2x\sim2x$，故分母 $x\sin2x\sim2x^2$。
3. 分子 $x-\sin2x=-x+o(x)$，因此原式 $\sim\dfrac{-x}{2x^2}=-\dfrac1{2x}\to-\infty$。
计算题 11
计算 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{xe^x+e^{-x}-1}{x^2}$。
答案：$\dfrac32$
1. 展开：$xe^x=x+x^2+\dfrac{x^3}{2}+\cdots$。
2. $e^{-x}=1-x+\dfrac{x^2}{2}+o(x^2)$。
3. 分子为 $\dfrac32x^2+o(x^2)$，极限为 $\dfrac32$。
计算题 12
求 $\lim\limits_{x\to+\infty}(\ln x)^{1/\ln x}$。
答案：$1$
1. 取对数：$\ln y=\dfrac{\ln\ln x}{\ln x}$。
2. 当 $x\to+\infty$ 时，$\dfrac{\ln\ln x}{\ln x}\to0$。
3. 故原极限为 $e^0=1$。
计算题 13
求 $\lim\limits_{x\to\frac\pi2^+}\left[\left(\dfrac\pi2-x\right)\tan x\right]$。
答案：$1$
1. 令 $t=\dfrac\pi2-x$，则 $\tan x=\cot t$。
2. $t\cot t=t\cdot\dfrac{\cos t}{\sin t}\sim t\cdot\dfrac1t=1$。
3. 故极限为 1。

第六节导数的应用 · 经典练习（共 11 题）

经典练习 1
函数 $f(x)=2x^3-3x^2$ 的极小值点是（　　）
A. $x=-1$B. $x=0$C. $x=1$D. $x=2$
答案：C
1. $f'(x)=6x(x-1)$，驻点为 $0,1$。
2. $f''(0)=-6<0$，0 为极大值点；$f''(1)=6>0$，1 为极小值点。
经典练习 2
已知函数 $f(x)=ax+\dfrac bx$ 在点 $x=-1$ 处取得极大值，则常数 $a,b$ 应满足条件（　　）
A. $a-b=0,b<0$B. $a-b=0,b>0$C. $a+b=0,b<0$D. $a+b=0,b>0$
答案：B
1. $f'(x)=a-\dfrac b{x^2}$，由 $f'(-1)=0$ 得 $a-b=0$。
2. $f''(x)=\dfrac{2b}{x^3}$，故 $f''(-1)=-2b$。极大值要求 $f''(-1)<0$，得 $b>0$。
经典练习 3
设函数 $f(x)$ 具有二阶导数，且 $f'(0)=-1,f'(1)=0,f''(0)=-1,f''(1)=3$，则下列结论正确的是（　　）
A. $x=0$ 是极小值点B. $x=0$ 是极大值点C. $x=1$ 是极小值点D. $x=1$ 是极大值点
答案：C
1. $x=1$ 处 $f'(1)=0,f''(1)>0$。
2. 所以 $x=1$ 为极小值点。
经典练习 4
若点 $(1,2)$ 为曲线 $y=ax^3+bx^2$ 的拐点，则常数 $a,b$ 分别为（　　）
A. $-1$ 和 $3$B. $3$ 和 $-1$C. $-2$ 和 $6$D. $6$ 和 $-2$
答案：A
1. 点在曲线上：$a+b=2$。
2. $y''=6ax+2b$，拐点条件 $y''(1)=0$，故 $3a+b=0$。
3. 解得 $a=-1,b=3$。
经典练习 5
曲线 $y=\ln x+\dfrac12x^2+1$ 的凸区间是（　　）
A. $(-\infty,-1)$B. $(-1,0)$C. $(0,1)$D. $(1,+\infty)$
答案：C
1. 定义域 $x>0$，$y''=-\dfrac1{x^2}+1=\dfrac{x^2-1}{x^2}$。
2. 在 $(0,1)$ 上 $y''<0$，按本章记号记为凸区间。
经典练习 6
曲线 $y=\dfrac{x^3}{x^2-1}$（　　）
A. 只有水平渐近线B. 只有铅垂渐近线C. 既有水平也有铅垂渐近线D. 无渐近线
答案：B
1. $x\to\pm1$ 时分母趋于 0，分子不为 0，有铅垂渐近线 $x=\pm1$。
2. $x\to\infty$ 时函数趋于无穷，没有水平渐近线。
经典练习 7
曲线 $y=\dfrac{\ln(1+x)}x$ 的水平渐近线方程是　______。
答案：$y=0$
1. 当 $x\to+\infty$ 时，$\ln(1+x)/x\to0$。
2. 故水平渐近线为 $y=0$。
经典练习 8
若直线 $y=4$ 是曲线 $y=\dfrac{ax+3}{2x-1}$ 的水平渐近线，则 $a=$　______。
答案：$8$
1. 水平渐近线高度为最高次项系数比 $\dfrac a2$。
2. 由 $\dfrac a2=4$，得 $a=8$。
经典练习 9
求函数 $f(x)=\log_4(4^x+1)-\dfrac12x-\log_42$ 的单调区间和极值。
答案：$(-\infty,0)$ 递减，$(0,+\infty)$ 递增；极小值 $f(0)=0$
1. 化简 $f(x)=\log_4\dfrac{4^x+1}{2}-\dfrac x2$。
2. $f'(x)=\dfrac{4^x}{4^x+1}-\dfrac12=\dfrac{4^x-1}{2(4^x+1)}$。
3. 当 $x<0$ 时导数负；当 $x>0$ 时导数正，故 $x=0$ 为极小值点，极小值为 0。
经典练习 10
求函数 $f(x)=3-x-\dfrac4{(x+2)^2}$ 在 $[-1,2]$ 上的最大值及最小值。
答案：最大值 $2$，最小值 $0$
1. $f'(x)=-1+\dfrac8{(x+2)^3}$，令其为 0，得 $(x+2)^3=8$，即 $x=0$。
2. $f(-1)=0,f(0)=2,f(2)=\dfrac34$。
3. 故最大值为 2，最小值为 0。
经典练习 11
设函数 $f(x)$ 满足 $\dfrac{df(x)}{d(e^{-x})}=x$，求曲线 $y=f(x)$ 的凹、凸区间。
答案：凸区间为 $(-\infty,1)$，凹区间为 $(1,+\infty)$
1. $\dfrac{df}{d(e^{-x})}=\dfrac{f'(x)}{-e^{-x}}=x$，故 $f'(x)=-xe^{-x}$。
2. $f''(x)=e^{-x}(x-1)$。
3. 当 $x<1$ 时 $f''<0$，为凸；当 $x>1$ 时 $f''>0$，为凹。

第六节导数的应用 · 单项选择题（共 29 题；原书编号缺第 12 题）

选择题 1
函数 $y=x+\dfrac1x$ 的单调递减区间为（　　）
A. $(-\infty,-1)$B. $(1,+\infty)$C. $(-1,0),(0,1)$D. $(-1,1)$
答案：C
1. $y'=1-\dfrac1{x^2}$。
2. 在 $(-1,0)\cup(0,1)$ 上 $y'<0$。
选择题 2
函数 $y=e^x+\arctan x$ 在区间 $[-1,1]$ 上（　　）
A. 单调递减B. 单调递增C. 无最大值D. 无最小值
答案：B
1. $y'=e^x+\dfrac1{1+x^2}>0$。
2. 所以函数在区间上单调递增。
选择题 3
函数 $y=e^x+e^{-x}$ 的单调递增区间是（　　）
A. $(-\infty,+\infty)$B. $(-\infty,0)$C. $(-1,1)$D. $(0,+\infty)$
答案：D
1. $y'=e^x-e^{-x}$。
2. 当 $x>0$ 时 $y'>0$，故递增区间为 $(0,+\infty)$。
选择题 4
设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且 $f'(x)<0$，则（　　）
A. $f(0)<0$B. $f(1)>0$C. $f(1)>f(0)$D. $f(1)<f(0)$
答案：D
1. 导数小于 0 说明函数严格递减。
2. 所以 $f(1)<f(0)$。
选择题 5
设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，$f'(x)>0$。若 $f(a)f(b)<0$，则 $y=f(x)$ 在 $(a,b)$ 内（　　）
A. 不存在零点B. 存在唯一零点C. 存在极大值点D. 存在极小值点
答案：B
1. 严格递增函数最多一个零点。
2. 由端点异号和连续性，至少一个零点。
3. 故存在唯一零点。
选择题 6
方程 $x^3-3x+1=0$ 在区间 $(1,2)$ 内（　　）
A. 无实根B. 有唯一实根C. 有两个实根D. 有三个实根
答案：B
1. 设 $f=x^3-3x+1$，$f(1)=-1<0,f(2)=3>0$。
2. $f'=3(x^2-1)>0$ 在 $(1,2)$ 上，故唯一实根。
选择题 7
函数 $f(x)=x^3-3x$ 的极小值为（　　）
A. $-2$B. $0$C. $2$D. $4$
答案：A
1. $f'=3(x-1)(x+1)$。
2. $x=1$ 处 $f''=6>0$，极小值为 $f(1)=-2$。
选择题 8
设函数 $f(x)=(1+x)e^x$，则函数（　　）
A. 仅有极小值B. 仅有极大值C. 既有极小值又有极大值D. 无极值
答案：A
1. $f'(x)=(x+2)e^x$，唯一驻点为 $x=-2$。
2. $f''(x)=(x+3)e^x$，所以 $f''(-2)=e^{-2}>0$，故 $x=-2$ 是极小值点。
3. 当 $x<-2$ 时 $f'(x)<0$，当 $x>-2$ 时 $f'(x)>0$，所以函数仅有极小值，没有极大值。
选择题 9
点 $x=0$ 是函数 $y=x^4$ 的（　　）
A. 驻点但非极值点B. 非驻点C. 驻点且是极大值点D. 驻点且是极小值点
答案：D
1. $y'=4x^3$，$y'(0)=0$，所以是驻点。
2. $x^4\ge0=y(0)$，故为极小值点。
选择题 10
若 $x=x_0$ 为函数 $y=f(x)$ 的极大值点，则下列结论正确的是（　　）
A. $f(x_0)$ 比任何点的函数值都大B. 不可能存在比 $f(x_0)$ 大的极小值C. $x_0$ 也可能是某个区间的端点D. 以上说法都不对
答案：C
1. 极大值点是局部概念，不要求高于定义域内所有函数值，A 错。
2. 不同局部区间内的极小值可以大于该极大值，B 错。
3. 若讨论闭区间上的最大值点，端点也可能取极大值，故选 C。
选择题 11
设二阶可导函数 $f(x)$ 满足 $f''(x)+[f'(x)]^2=1$，且 $f'(0)=0$，则（　　）
A. $f(0)$ 是极大值B. $f(0)$ 是极小值C. $(0,f(0))$ 是拐点D. 不是极值也不是拐点
答案：B
1. 代入 $x=0$，得 $f''(0)+0=1$，所以 $f''(0)=1>0$。
2. 故 $x=0$ 是极小值点。
选择题 13
设 $x=x_0$ 为 $y=f(x)$ 的驻点，则下列结论不一定成立的是（　　）
A. $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续B. $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导C. $f(x)$ 在点 $x_0$ 处取得极值D. 切线平行于 $x$ 轴
答案：C
1. 驻点意味着在该点可导且导数为 0。
2. 可导必连续，切线水平。
3. 例如 $y=x^3$ 在 0 处是驻点但不是极值点，故选 C。
选择题 14
以下结论正确的是（　　）
A. 导数不存在的点一定不是极值点B. 驻点必为极值点C. 若在 $x_0$ 有极值且 $f'(x_0)$ 存在，则 $f'(x_0)=0$D. 连续必可导
答案：C
1. 这是费马定理。
2. A 错，如 $|x|$ 在 0；B 错，如 $x^3$；D 错，如 $|x|$。
选择题 15
有盖铁桶容积为 $V$，若用铁皮最省，则底面半径与高的比例为（　　）
A. $1:2$B. $1:1$C. $2:1$D. $1:\sqrt2$
答案：A
1. $V=\pi r^2h$，表面积 $S=2\pi r^2+2\pi rh$。
2. 用 $h=V/(\pi r^2)$，求导得最优时 $h=2r$。
3. 所以 $r:h=1:2$。
选择题 16
曲线 $y=x^4-24x^2+6x$ 的凸区间为（　　）
A. $(-2,2)$B. $(-\infty,0)$C. $(0,+\infty)$D. $(-\infty,+\infty)$
答案：A
1. $y''=12x^2-48=12(x-2)(x+2)$。
2. 在 $(-2,2)$ 上 $y''<0$，按本章记号为凸区间。
选择题 17
曲线 $y=5-(x+5)^7$ 的凹区间为（　　）
A. $(-\infty,-5)$B. $(-5,+\infty)$C. $(-\infty,5)$D. $(5,+\infty)$
答案：A
1. $y''=-42(x+5)^5$。
2. 当 $x<-5$ 时 $(x+5)^5<0$，故 $y''>0$，为凹区间。
选择题 18
曲线 $y=(2-x)^{-1/3}$ 在 $(2,+\infty)$ 内（　　）
A. 单调递增且为凸B. 单调递增且为凹C. 单调递减且为凸D. 单调递减且为凹
答案：B
1. $y'=\dfrac13(2-x)^{-4/3}>0$，单调递增。
2. $y''=\dfrac49(2-x)^{-7/3}>0$，为凹。
选择题 19
函数 $y=e^{-x}$ 在定义域内的图形是（　　）
A. 单调增加且凹B. 单调减少且凹C. 单调增加且凸D. 单调减少且凸
答案：B
1. $y'=-e^{-x}<0$，单调减少。
2. $y''=e^{-x}>0$，为凹。
选择题 20
曲线 $y=x^3-6x^2+3x+4$ 的拐点为（　　）
A. $(2,-6)$B. $(-2,-34)$C. $(2,6)$D. $(0,4)$
答案：A
1. $y''=6x-12$，拐点候选 $x=2$。
2. $y(2)=8-24+6+4=-6$，故拐点为 $(2,-6)$。
选择题 21
$y=x-\cos x\ (0\le x\le\pi)$ 的拐点为（　　）
A. $\left(\frac\pi6,\frac\pi6-\frac{\sqrt3}2\right)$B. $\left(\frac\pi3,\frac\pi3-\frac12\right)$C. $\left(\frac\pi2,\frac\pi2\right)$D. 不存在
答案：C
1. $y''=\cos x$。
2. 在 $(0,\pi)$ 内令 $y''=0$，得 $x=\dfrac\pi2$；符号左右改变。
3. 对应点为 $\left(\dfrac\pi2,\dfrac\pi2\right)$。
选择题 22
$f'(x_0)=0$ 是点 $(x_0,f(x_0))$ 为曲线拐点的（　　）
A. 必要条件B. 充分条件C. 充要条件D. 无关条件
答案：D
1. 拐点由二阶导数变号或一阶导数单调性改变判定，与一阶导数为 0 无必然关系。
2. 所以它既非必要也非充分，属于无关条件。
选择题 23
曲线 $y=x^3(x-4)$ 的拐点个数为（　　）
A. $1$B. $2$C. $3$D. $0$
答案：B
1. $y=x^4-4x^3$。
2. $y''=12x^2-24x=12x(x-2)$。
3. $x=0,2$ 两侧二阶导数均变号，故有两个拐点。
选择题 24
曲线 $y=\dfrac{e^x}{1+x}$（　　）
A. 有一个拐点B. 有两个拐点C. 有三个拐点D. 无拐点
答案：D
1. $y''=\dfrac{e^x(1+x^2)}{(1+x)^3}$。
2. 分子恒正，函数在 $x=-1$ 处本身无定义；由二阶导数符号变化只可能发生在定义域断点处。
3. 在定义域内没有拐点，故选 D。
选择题 25
若点 $(0,1)$ 是曲线 $y=ax^3+bx^2+c$ 的拐点，则（　　）
A. $a=1,b=-3,c=1$B. $a\ne0,b=0,c=1$C. $a=1,b=0,c$ 任意D. $a,b$ 任意，$c=1$
答案：B
1. 曲线过点 $(0,1)$，所以 $c=1$。
2. $y''=6ax+2b$，拐点要求 $y''(0)=0$，故 $b=0$。
3. 要真正有拐点还需 $a\ne0$。
选择题 26
曲线 $y=\dfrac{(x-1)^2}{(x+1)^3}$ 的水平渐近线是（　　）
A. $y=0$B. $y=1$C. $x=0$D. $x=1$
答案：A
1. 分母次数高于分子，$x\to\infty$ 时函数趋于 0。
2. 水平渐近线为 $y=0$。
选择题 27
曲线 $y=\dfrac{\ln(1+x)}{x+1}$（　　）
A. 有水平无铅垂B. 无水平有铅垂C. 既有水平又有铅垂D. 都无
答案：C
1. $x\to+\infty$ 时趋于 0，故有水平渐近线 $y=0$。
2. $x\to-1^+$ 时趋于 $-\infty$，故有铅垂渐近线 $x=-1$。
选择题 28
曲线 $y=\dfrac{1+e^{-x^2}}{1-e^{-x^2}}$（　　）
A. 没有渐近线B. 仅有水平渐近线C. 仅有铅垂渐近线D. 既有水平又有铅垂
答案：D
1. $x\to0$ 时分母趋于 0、分子趋于 2，有铅垂渐近线 $x=0$。
2. $x\to\pm\infty$ 时 $e^{-x^2}\to0$，函数趋于 1，有水平渐近线 $y=1$。
选择题 29
曲线 $y=x\sin\dfrac1x$（　　）
A. 仅有水平渐近线B. 仅有铅垂渐近线C. 既有水平又有铅垂D. 都无
答案：A
1. $x\to\infty$ 时 $x\sin(1/x)\to1$，有水平渐近线 $y=1$。
2. $x\to0$ 时函数趋于 0，没有铅垂渐近线。
选择题 30
曲线 $y=\dfrac{x^2+x}{x^2-1}$ 的水平和铅垂渐近线总条数为（　　）
A. $0$B. $1$C. $2$D. $3$
答案：C
1. 化简后 $y=\dfrac{x+2}{x+1}$（$x\ne1$），水平渐近线为 $y=1$。
2. 分母剩 $x+1$ 的零点 $x=-1$，故只有一条铅垂渐近线 $x=-1$。
3. 总数为 2。

第六节导数的应用 · 填空题（共 20 题）

填空题 1
函数 $f(x)=x-\ln(1+x)$ 的驻点为　______。
答案：$x=0$
1. $f'=1-\dfrac1{1+x}=\dfrac x{1+x}$。
2. 令 $f'=0$，得 $x=0$。
填空题 2
函数 $y=2x^3-x^2+5$ 的单调递减区间为　______。
答案：$\left(0,\dfrac13\right)$
1. $y'=6x^2-2x=2x(3x-1)$。
2. 令 $y'<0$，得 $0<x<\dfrac13$。
填空题 3
$f(x)=\arctan x^2$ 在区间　______ 内为单调递减函数。
答案：$(-\infty,0)$
1. $f'=\dfrac{2x}{1+x^4}$。
2. 当 $x<0$ 时导数小于 0。
填空题 4
$f(x)=x^3-7$ 在区间　______ 内为单调递增函数。
答案：$(-\infty,+\infty)$
1. $f'=3x^2\ge0$。
2. 且只在一点为零，故在整个实数轴上递增。
填空题 5
$f(x)=\ln2x$ 在区间　______ 内为单调递增函数。
答案：$(0,+\infty)$
1. 定义域为 $x>0$。
2. $f'=1/x>0$，所以在定义域内递增。
填空题 6
函数 $f(x)=e^{x^2}$ 的极值为　______。
答案：极小值 $1$
1. $f'=2xe^{x^2}$，驻点 $x=0$。
2. $f''(0)=2>0$，极小值为 $e^0=1$。
填空题 7
函数 $f(x)=\ln(1+x^2)$ 的极值为　______。
答案：极小值 $0$
1. $f'=\dfrac{2x}{1+x^2}$，驻点 $x=0$。
2. $f''(0)=2>0$，极小值为 0。
填空题 8
已知 $f(x)=x^3+3px+q$ 在 $x=1$ 处取得极值（$q$ 为任意常数），则 $p=$　______。
答案：$-1$
1. $f'=3x^2+3p$。
2. 由 $f'(1)=3+3p=0$，得 $p=-1$。
填空题 9
$f(x)=x^3-3x^2+6x-2$ 在 $[-1,1]$ 上的最大值为　______。
答案：$2$
1. $f'=3(x-1)^2+3>0$，函数递增。
2. 最大值在 $x=1$：$1-3+6-2=2$。
填空题 10
函数 $y=e^{-x^2/2}$ 的凹区间是　______。
答案：$(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$
1. $y''=(x^2-1)e^{-x^2/2}$。
2. 令 $y''>0$，得 $x<-1$ 或 $x>1$。
填空题 11
曲线 $y=2\ln x+x^2+5$ 的凸区间是　______。
答案：$(0,1)$
1. 定义域 $x>0$，$y''=-\dfrac2{x^2}+2=\dfrac{2(x^2-1)}{x^2}$。
2. 在 $(0,1)$ 上 $y''<0$，为凸区间。
填空题 12
设 $f'(x)=(x-1)(x+1)$，则曲线 $f(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 内单调　______，凹凸性为　______。
答案：递增；凹
1. $f'=x^2-1$，当 $x>1$ 时 $f'>0$，递增。
2. $f''=2x>0$，为凹。
填空题 13
设点 $(x_0,f(x_0))$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点，且 $f(x)$ 二阶可导，则 $f''(x_0)=$　______。
答案：$0$
1. 拐点处若二阶导数存在，则二阶导数必为 0。
填空题 14
曲线 $f(x)=x^3-3x^2-9x$ 的拐点坐标为　______。
答案：$(1,-11)$
1. $f''=6x-6$，令 $f''=0$，得 $x=1$。
2. $f(1)=1-3-9=-11$，故拐点为 $(1,-11)$。
填空题 15
已知点 $(1,1)$ 是曲线 $y=x^2+a\ln x$ 的拐点，则 $a=$　______。
答案：$2$
1. $y''=2-\dfrac a{x^2}$。
2. 由 $y''(1)=2-a=0$，得 $a=2$。
填空题 16
曲线 $y=\dfrac{x^3}{2(x+1)^2}$ 的铅垂渐近线方程是　______。
答案：$x=-1$
1. 分母为零且分子不为零的候选点为 $x=-1$。
2. 故铅垂渐近线为 $x=-1$。
填空题 17
设曲线 $y=\dfrac{x^2+x-2}{1-x^2}$，则该曲线的水平渐近线为　______。
答案：$y=-1$
1. 分子、分母最高次项系数分别为 1 和 -1。
2. 故水平渐近线为 $y=-1$。
填空题 18
设曲线 $y=\dfrac{x+1}{kx+1}$ 有水平渐近线 $y=\dfrac12$，则 $k=$　______。
答案：$2$
1. 水平渐近线为 $\dfrac1k$。
2. 由 $\dfrac1k=\dfrac12$，得 $k=2$。
填空题 19
曲线 $y=\dfrac{x+4\sin x}{5x-2\cos x}$ 的水平渐近线方程为　______。
答案：$y=\dfrac15$
1. 当 $x\to\infty$ 时，有界项相对 $x$ 可忽略。
2. $y\sim\dfrac{x}{5x}=\dfrac15$。
填空题 20
抛物线 $y=x^2-4x$ 在点 $(2,-4)$ 处的曲率为　______，曲率半径为　______。
答案：曲率 $2$，曲率半径 $\dfrac12$
1. $y'=2x-4,y''=2$，在 $x=2$ 处 $y'=0$。
2. 曲率 $K=\dfrac{|y''|}{(1+y'^2)^{3/2}}=2$。
3. 曲率半径 $R=1/K=\dfrac12$。

第六节导数的应用 · 计算题（共 16 题）

计算题 1
求函数 $f(x)=|x-1|+2$ 在 $[-1,2]$ 上的极小值。
答案：极小值 $2$，在 $x=1$ 处取得
1. 当 $x<1$ 时 $f=3-x$ 递减；当 $x>1$ 时 $f=x+1$ 递增。
2. 故在 $x=1$ 处取极小值 2。
计算题 2
求函数 $f(x)=\dfrac12\cos2x+\sin x\ (0\le x\le\pi)$ 的极值。
答案：极大值 $\dfrac34$；极小值 $\dfrac12$
1. $f'=-\sin2x+\cos x=\cos x(1-2\sin x)$。
2. 在区间内驻点为 $\dfrac\pi6,\dfrac\pi2,\dfrac{5\pi}6$。
3. $f\left(\dfrac\pi6\right)=f\left(\dfrac{5\pi}6\right)=\dfrac34$，为极大值；$f\left(\dfrac\pi2\right)=\dfrac12$，为极小值。
计算题 3
已知 $f(x)=2x^3-6x^2-18x-7$，求单调区间和极值。
答案：递增 $(-\infty,-1),(3,+\infty)$；递减 $(-1,3)$；极大值 $3$，极小值 $-61$
1. $f'=6(x-3)(x+1)$。
2. 导数符号表给单调区间。
3. $f(-1)=3,f(3)=-61$。
计算题 4
求函数 $y=2x^2-\ln x$ 的单调区间和极值。
答案：递减 $\left(0,\dfrac12\right)$，递增 $\left(\dfrac12,+\infty\right)$；极小值 $\dfrac12+\ln2$
1. 定义域 $x>0$，$y'=4x-\dfrac1x=\dfrac{4x^2-1}{x}$。
2. 驻点为 $x=\dfrac12$；左侧导数为负，右侧为正。
3. 极小值为 $2\cdot\dfrac14-\ln\dfrac12=\dfrac12+\ln2$。
计算题 5
设 $f(x)=\dfrac13x^3-\dfrac52x^2+4x$，求在 $[-1,2]$ 上的最大值与最小值。
答案：最大值 $\dfrac{11}{6}$，最小值 $-\dfrac{41}{6}$
1. $f'=x^2-5x+4=(x-1)(x-4)$，在 $[-1,2]$ 内驻点为 $x=1$。
2. $f(-1)=-\dfrac{41}{6},f(1)=\dfrac{11}{6},f(2)=\dfrac23$。
3. 比较得最大值和最小值。
计算题 6
设函数 $f(x)=ax^3-6ax^2+b$ 在 $[-1,2]$ 上的最大值为 3，最小值为 $-29$，且 $a>0$，求 $a,b$。
答案：$a=2,b=3$
1. $f'=3ax(x-4)$，在 $[-1,2]$ 内驻点为 $x=0$。
2. $f(-1)=-7a+b,f(0)=b,f(2)=-16a+b$。
3. 最大值 $b=3$，最小值 $-16a+3=-29$，故 $a=2$。
计算题 7
求函数 $y=\dfrac{e^{2x}}x$ 的单调区间和凹凸区间。
答案：递减 $(-\infty,0),\left(0,\dfrac12\right)$；递增 $\left(\dfrac12,+\infty\right)$；凸 $(-\infty,0)$，凹 $(0,+\infty)$
1. $y'=\dfrac{e^{2x}(2x-1)}{x^2}$。
2. 驻点为 $x=\dfrac12$，极小值为 $2e$。
3. $y''=\dfrac{2e^{2x}(2x^2-2x+1)}{x^3}$，二次因子恒正，故二阶导数符号由 $x$ 决定。
计算题 8
求曲线 $y=x^3-3x+5$ 的拐点。
答案：$(0,5)$
1. $y''=6x$。
2. 令 $y''=0$，得 $x=0$，左右符号改变。
3. $y(0)=5$，故拐点为 $(0,5)$。
计算题 9
求曲线 $y=x^4-2x^3+1$ 的凹凸区间和拐点。
答案：凹 $(-\infty,0),(1,+\infty)$；凸 $(0,1)$；拐点 $(0,1),(1,0)$
1. $y''=12x(x-1)$。
2. 二阶导数符号在 $0,1$ 两侧都变号。
3. 计算对应函数值即可。
计算题 10
求曲线 $f(x)=x+\dfrac{2x}{x^2-1}$ 的凹凸区间和拐点。
答案：凹 $(-1,0)\cup(1,+\infty)$；凸 $(-\infty,-1)\cup(0,1)$；拐点 $(0,0)$
1. $f''=\dfrac{4x(x^2+3)}{(x^2-1)^3}$。
2. 结合 $x=\pm1$ 为定义域断点，分析符号表。
3. 在 $x=0$ 处二阶导数变号，得拐点 $(0,0)$。
计算题 11
试确定函数 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+16$ 中的 $a,b,c$，使得 $f(x)$ 在 $x=-2$ 处有水平切线，且 $(1,-10)$ 为拐点。
答案：$a=1,b=-3,c=-24$
1. 水平切线：$f'(-2)=12a-4b+c=0$。
2. 拐点：$f''(1)=6a+2b=0$。
3. 点在曲线上：$a+b+c+16=-10$，联立解得上述值。
计算题 12
设函数 $y=a\ln x+bx^2+5x$ 在 $x=1$ 处取极值，且 $x=\dfrac12$ 为其拐点横坐标，求 $a,b$。
答案：$a=-1,b=-2$
1. $y'=\dfrac ax+2bx+5$，由 $y'(1)=0$ 得 $a+2b+5=0$。
2. $y''=-\dfrac a{x^2}+2b$，由 $y''\left(\dfrac12\right)=0$ 得 $-4a+2b=0$。
3. 解得 $a=-1,b=-2$。
计算题 13
已知点 $(2,1)$ 是曲线 $y=ae^x+2bx^2$ 的拐点，求常数 $a,b$。
答案：$a=-e^{-2},\ b=\dfrac14$
1. 曲线过点：$ae^2+8b=1$。
2. 拐点条件：$y''=ae^x+4b$，故 $ae^2+4b=0$。
3. 联立解得 $a=-e^{-2},b=\dfrac14$。
计算题 14
设 $x=\pm1$ 是 $f(x)$ 的两个极值点，且 $f(x)=x^3+ax^2+bx$，求函数 $f(x)$。
答案：$f(x)=x^3-3x$
1. $f'=3x^2+2ax+b$ 的根为 $x=\pm1$。
2. 由韦达定理，两根和为 $0$，积为 $-1$。
3. 得 $a=0,b=-3$，所以 $f(x)=x^3-3x$。
计算题 15
已知 $f(x)=\dfrac{\sin x}{x(x-1)}$，求水平渐近线和铅垂渐近线。
答案：水平 $y=0$；铅垂 $x=1$
1. 当 $x\to\infty$ 时，分子有界、分母趋于无穷，$f\to0$，水平渐近线 $y=0$。
2. $x=1$ 时分母为零且分子不为零，有铅垂渐近线 $x=1$；$x=0$ 处分子也趋于 0，函数有有限极限，不形成铅垂渐近线。
计算题 16
已知 $f(x)=\dfrac{e^x+1}{e^x-1}$，求水平渐近线和铅垂渐近线。
答案：水平 $y=1$（$x\to+\infty$），$y=-1$（$x\to-\infty$）；铅垂 $x=0$
1. $x\to+\infty$ 时 $f\to1$；$x\to-\infty$ 时 $f\to-1$。
2. $x\to0$ 时分母趋于 0、分子趋于 2，故 $x=0$ 为铅垂渐近线。

第三章 一元函数微分学

第一节 导数概念和函数求导 · 经典练习（共 10 题）

第一节 导数概念和函数求导 · 单项选择题（共 35 题）

第一节 导数概念和函数求导 · 填空题（共 34 题）

第一节 导数概念和函数求导 · 计算题（共 22 题）

第二节 高阶导数和特殊函数的导数 · 经典练习（共 11 题）

第二节 高阶导数和特殊函数的导数 · 单项选择题（共 15 题）

第二节 高阶导数和特殊函数的导数 · 填空题（共 21 题）

第二节 高阶导数和特殊函数的导数 · 计算题（共 20 题）

第三节 函数的微分 · 经典练习（共 1 题）

第三节 函数的微分 · 单项选择题（共 8 题）

第三节 函数的微分 · 填空题（共 9 题）

第三节 函数的微分 · 计算题（共 5 题）

第四节 微分中值定理及泰勒公式 · 经典练习（共 3 题）

第四节 微分中值定理及泰勒公式 · 单项选择题（共 9 题）

第四节 微分中值定理及泰勒公式 · 填空题（共 7 题）

第五节 洛必达法则 · 经典练习（共 5 题）

第五节 洛必达法则 · 单项选择题（共 4 题）

第五节 洛必达法则 · 填空题（共 4 题）

第五节 洛必达法则 · 计算题（共 13 题）

第六节 导数的应用 · 经典练习（共 11 题）

第六节 导数的应用 · 单项选择题（共 29 题；原书编号缺第 12 题）

第六节 导数的应用 · 填空题（共 20 题）

第六节 导数的应用 · 计算题（共 16 题）

第三章一元函数微分学

第一节导数概念和函数求导 · 经典练习（共 10 题）

第一节导数概念和函数求导 · 单项选择题（共 35 题）

第一节导数概念和函数求导 · 填空题（共 34 题）

第一节导数概念和函数求导 · 计算题（共 22 题）

第二节高阶导数和特殊函数的导数 · 经典练习（共 11 题）

第二节高阶导数和特殊函数的导数 · 单项选择题（共 15 题）

第二节高阶导数和特殊函数的导数 · 填空题（共 21 题）

第二节高阶导数和特殊函数的导数 · 计算题（共 20 题）

第三节函数的微分 · 经典练习（共 1 题）

第三节函数的微分 · 单项选择题（共 8 题）

第三节函数的微分 · 填空题（共 9 题）

第三节函数的微分 · 计算题（共 5 题）

第四节微分中值定理及泰勒公式 · 经典练习（共 3 题）

第四节微分中值定理及泰勒公式 · 单项选择题（共 9 题）

第四节微分中值定理及泰勒公式 · 填空题（共 7 题）

第五节洛必达法则 · 经典练习（共 5 题）

第五节洛必达法则 · 单项选择题（共 4 题）

第五节洛必达法则 · 填空题（共 4 题）

第五节洛必达法则 · 计算题（共 13 题）

第六节导数的应用 · 经典练习（共 11 题）

第六节导数的应用 · 单项选择题（共 29 题；原书编号缺第 12 题）

第六节导数的应用 · 填空题（共 20 题）

第六节导数的应用 · 计算题（共 16 题）